Probabilità estrazione di 4 simboli su 6 disponibili

[pgiagno]

In un gioco per bambini che sto costruendo c'è una 'slot machine' che estrae 4 simboli, uno alla volta da un insieme di 6. Io vorrei associare alla probabilità di ciascuna estrazione un premio 'equo' e ho quindi la necessità di conoscere la probabilità di uscita di tutte le combinazioni: coppia, doppia coppia, terna, quaterna, tutti diversi.

Le mie conoscenze di statistica sono state rimosse immediatamente dopo l'esame universitario cinquant'anni fa, e non ho intenzione di farmi rivenire gli incubi a base di palle bianche e nere, urne, estrazioni e chi più ne ha più ne metta.

Conoscendo il C++ e avendo un Arduino a disposizione ho fatto un programma banale che esamina e conta tutte le combinazioni possibili. Dopo la correzione di un errore concettuale (il programma contava doppio le doppie coppie) l'ho lanciato con 100000 estrazioni di combinazioni di 4 simboli, scelti uno per volta su 6 disponibili ogni volta che ho numerato da 0 a 5.

Il programma ha girato per 10 volte con 10 'semi' di casualità differenti, ottenendo sempre risultati sovrapponibili. Questo un risultato-tipo.

Effettuate 100000 estrazioni

Simboli estratti
Simbolo 0 = 66850
Simbolo 1 = 66348
Simbolo 2 = 66694
Simbolo 3 = 66514
Simbolo 4 = 66943
Simbolo 5 = 66651

Coppia = 55469
DCoppia = 6939
Terna = 9233
Quaterna = 466
Diversi = 27893

Per la mia profonda ignoranza di statistica (già detto) è stupefacente che la doppia coppia presenti una frequenza inferiore alla terna (stereotipo del pokerista) e vi chiedo se qualcuno può calcolarmi TEORICAMENTE le probabilità di ciascuna estrazione in modo da poterle confrontare con i risultati ottenuti e poter eventualmente correggere gli errori.

Oppure va bene così.

Ciao,
P.

[GioArca67]

Non si capisce bene se è con "reinserimento" nel bussolotto ogni volta che estrai o se man mano nel bussolotto son di meno, sembra il primo caso.

[GioArca67]

Supponiamo il primo caso.

Diciamo che tu abbia 4 dadi e li lanci, vediamo che probabilità hai di fare le varie figure desiderate

quaterna: (probabilità che il secondo sia uguale al primo)x(probabilità che il terzo sia uguale al primo)x(probabilità che il quarto sia uguale al primo): (1/6)x(1/6)x(1/6)= 1/216 =4,63*10^-3
Tu hai trovato giustamente 466, valore compatibile con 100000 * 4.63*10^-3

Terna: Vediamola in altro modo: devi ottenere lo schema XXXY quindi hai 6 possibili valori per X, 5 possibili valori per Y e 4 possibili posizioni per Y
(va bene anche YXXX, XYXX, ecc.) in totale 6x5x4=120 casi favorevoli su 6x6x6x6=1296 casi totali, con probabilità quindi 120/1296=92,6*10^-3
Il tuo 9233 è compatibile con 100*10^3 * 92,6*10^-3


Doppia Coppia: lo schema è tipo XXYY, quindi ad es. con le probabilità: (Probabilità che il secondo sia uguale al primo)x(probabilità che il terzo sia diverso dal primo)x(probabilità che il quarto sia uguale a terzo) : 1/6 x 5/6 x 1/6 = 5/216 ma dobbiamo calcolare anche le possibili variazioni di posizione infatti oltre a XXYY abbiamo XYXY e XYYX, cioè altre 3 possibilità per ciascuna di quelle calcolate prima: 15/216=69,4*10^-3
Ed il tuo risultato di 6939 mi sembra perfettamente compatibile con 100*69,4

[pgiagno]

Esatto il primo caso.

Ad ogni ciclo si estrae il primo numero a caso fra 0, 1, 2, 3, 4, 5. Poi sempre a caso il secondo numero fra 0, 1, 2, 3, 4, 5. Poi sempre a caso il terzo numero fra 0, 1, 2, 3, 4, 5. Infine il quarto numero a caso fra 0, 1, 2, 3, 4, 5 .

A fine ciclo si esamina il risultato. Coppia = due numeri uguali e gli altri due diversi, Doppia Coppia = due numeri uguali e altri due numeri uguali diversi dai primi, Terna = tre numeri uguali e il quarto diverso, Quaterna = quattro numeri uguali, Diversi = quattro numeri diversi fra loro.

Ciao,
P.

[pgiagno]

E quindi è vero che la probabilità di estrarre una doppia coppia è INFERIORE alla possibilità di estrarre una terna.

Ti ringrazio. Il programma funziona, e ha ragione.

Grazie ancora della spiegazione, molto dettagliata. Avevo tentato un approccio teorico, ma non avevo tenuto conto delle combinazioni favorevoli per ogni tipo.

Ciao,
P.

[GioArca67]

Ad es. i 66666 casi per ciascuna cifra diviso i 100000 tentativi ti dà correttamente una probabilità di 0,666 di occorrenza infatti 1/6 (probabilità che esca una fra le 6 cifre) per 4 posizioni in cui la singola cifra può uscire = 4/6 = 0,66 cioè quel che trovi

[pgiagno]

Ok, grazie ancora.

Ciao,
P.