Esponenti frazionari e radici: una domanda

[jaelec]

per reale, è uguale a oppure è uguale a valore assoluto di ?

[jaelec]

Specifico forse meglio il senso (uno dei sensi) della mia domanda perché può anche darsi, al limite, che la mancanza di risposte sia dovuta al fatto che la domanda è stata considerata banale (e magari banale lo è per davvero).

La relazione:



Vale sempre? (Cioè vale per ogni e ogni intero e per ogni reale?)

Esiste una definizione internazionale condivisa di ?

[PietroBaima]

valore assoluto

[GioArca67]

In generale sono parzialmente d'accordo.

Lasciamo da parte per il momento .
Occorre comunque definire per prima cosa dominio e codominio della funzione.

Però l'espressione originariamente richiesta era

che per me vale in quanto occorre risolvere inizialmente l'esponente e poi procedere:


Questo non solo perché ritengo che occorra "un'economicità" nella ricerca della soluzione, nel senso di non andare a scomodare strutture più complesse quando vi sono altre semplici a disposizione, non solo perché ad es se l'esponente è una espressione con esponente essa stessa occorre prima risolverla e poi proseguire ( in cui fai prima ), ma anche perché altrimenti arriviamo a situazioni "scomode" tipo
(che è definita anche per x<0 mentre direttamente è indefinita sui Reali.
Del resto per x<0 la seguente relazione ovviamente in generale non vale più:

infatti quanto vale nel campo dei Reali?
Quindi finché rimaniamo nel codominio dei reali possiamo definire per x<0 solo per q dispari (oppure anche per p pari, ma non possiamo applicare la precedente commutazione e definire che occorre prima elevare a potenza e poi estrarre radice).

Allora per le altre domande

La relazione:



Vale sempre? (Cioè vale per ogni a e ogni b intero e per ogni x reale?)

No, se siamo nel campo dei Reali e ricordando che vorremmo poter scrivere si vorrebbe poter scrivere (come per x>=0)

ma la radice pari di un numero negativo nei Reali non è definita.

Esiste una definizione internazionale condivisa di ?

Sì, ma dipende essenzialmente se siamo fra i Reali, o se possiamo estendere ai numeri Complessi (dove troviamo b risultati).

Infine

mancanza di risposte sia dovuta al fatto che la domanda è stata considerata banale (e magari banale lo è per davvero)

non credo sia banale, ma la mancanza di risposte era dovuta invece alla non banalità della risposta.

Se ora torniamo alla , allora la soluzione più diffusa è quella giustamente indicata da PietroBaima, ma a mio avviso pecca di non generalità poiché ci si può arrivare solo con quel particolare ordine (prima elevamento a potenza e poi estrazione radice quadrata), ovvero per specifica definizione.

[PietroBaima]

Ci puoi arrivare anche scambiando l’ordine, ma devi per forza passare dai complessi.

[jaelec]

Innanzitutto ringrazio per le risposte.

A me pare di capire, facendo una sintesi invece di entare nel dettaglio, che però, di fatto, la faccenda non è risolta e che non vi sia questa definizione condivisa (anche solo nelle risposte in questa discussione) di .

Perché alla fine se chiedo quanto vale (nel campo reale) ciascuno mi può dare il risultato che crede...

E' così oppure esiste, invece, appunto, un risultato condiviso?

[PietroBaima]

Puoi affermare che quel risultato faccia uno perché vuoi restare nel campo dei numeri positivi e reali, tanto che quello è diventato un modo per estrarre il valore assoluto.

In realtà il discorso corretto sarebbe piuttosto articolato e finiremmo per parlare di non biiettività della funzione inversa.
Avrai infatti sicuramente notato che per esponenti dispari il problema non si pone, mentre si pone per tutti quelli pari.

[GioArca67]

Scusa PietroBaima perché vedi il valore assoluto?
A mio avviso no:
qui ovviamente c'è

ma

Se non prendi questa strada di ridurre prima l'esponente ai minimi termini hai dei paradossi immediati tipo e sembra innegabile che
In svariati testi americani la definizione di potenza con esponente frazionario include la necessità che esso non abbia termini comuni, come ad es in Ratti & McWaters, Precalculus: a right triangle approach, section P.6

[PietroBaima]

Appena ho un attimo estendo il discorso.

[dadduni]

Solo io sto aspettando con impazienza la risposta di PietroBaima?
Sono feste per tutti, ma abbiamo bisogno di risposte!