Paradosso del compleanno: problema metodologico

[Carlo51]

Buongiorno,

Von Mises, nel "39, risolse il problema cosiddetto del paradosso del compleanno, anche se il termine "paradosso" è qui usato in un'accezione un po'.... paradossale.
La sua soluzione è all'indirizzo https://it.wikipedia.org/wiki/Paradosso_del_compleanno. Von Mises usa le probabilità complementari (e, se le usa, un motivo certo ci sarà), ma io non riesco a capire perché non ha utilizzato le probabilità semplici: in effetti i due metodi portano a risultati differenti.
Io ho operato con le probabilità semplici nel seguente modo: supponiamo di avere un gruppo p di persone; la persona 1 ha probabilità p-1/365 (non si considerano per praticità gli anni bisestili) di avere la stessa data di compleanno (escluso l'anno) delle altre p-1 persone; la persona 2 ha probabilità p-2/365 di avere la stessa data di compleanno delle altre p-2 persone; ecc., fino alla persona p-1 che avrà probabilità 1/365 di avere la stessa data di compleanno della persona p. Ho poi sommato tutte queste probabilità utilizzando un foglio excel e ho trovato che la probabilità del 50% richiesta dal problema è superata alla persona 20 (cioè considerando un gruppo di persone p=20) anziché alla 23 come trova invece Von Mises.
Quello che, appunto, non capisco è perché il metodo della somma delle probabilità semplici non porta allo stesso risultato di quello del complementare a 1 del prodotto dei complementi delle probabilità. Ringrazio molto per l'aiuto che mi si vorrà dare.

[IsidoroKZ]

Se vuoi calcolare la probabilità che in un gruppo di 50 persone ce ne siano due con lo stesso compleanno, quanto viene con la tua formula? Non ti sembra che venga un po' troppo grande?

[Carlo51]

IsidoroKZ, la ringrazio molto per la risposta. Non c'è dubbio che lei abbia ragione, ma questo non risolve il mio problema che è di capire in quale punto il metodo da me utilizzato sia errato concettualmente. Il fatto di ottenere una probabilità "spropositata" è certamente indice di errore, ma non mi di ce quale questo sia.

[boiler]

la persona 1 ha probabilità p-1/365 [...] di avere la stessa data di compleanno delle altre p-1 persone;

Questa affermazione non considera il fatto che le restanti p-1 persone potrebbero avere compleanni comuni tra loro.

Boiler

[Carlo51]

boiler, ho inteso considerare i compleanni comuni delle p-1 persone proprio coi successivi termini della somma. Deve esserci qualche ridondanza in quello che considero, forse proprio in quanto si hanno insiemi con intersezione non nulla. Grazie.

[EcoTan]

Von Mises calcola la probabilità che due "e soltanto due".
EDIT Però nel link del post [1] viene detto "almeno due " in contrasto con la mia affermazione peraltro solo intuitiva.

[Carlo51]

In effetti Von Mises prende in considerazione la probabilità complementare a quella che la persona n abbia la stessa data di nascita di almeno una delle rimanenti p-n persone (dove n va da 1 a p-1), e cioè la probabilità che nessuna delle p-n persone abbia la stessa data di nascita della persona n. Moltiplicando poi le probabilità determinate, Von Mises ottiene la probabilità che nell'insieme degli n sottogruppi non non vi sia nessuna persona con la stessa data di nascita (escluso l'anno) di tutte le altre persone p-1. Calcolando il complemento a 1 di detta probabilità, si ottiene la probabilità che almeno 1 persona abbia lo stesso mese/anno delle rimanenti p-1 persone.
Da quanto sopra, mi sembra di capire (ma devo pensarci ancora più approfonditamente) che l'errore di sommare le probabilità semplici ("che la persona n abbia la stessa data di nascita di almeno una delle rimanenti p-n persone (dove n va da 1 a p-1)") sia quello che, così facendo, si considerano, in ciascun sottogruppo n di persone, anche i casi in cui la persona n abbia lo stesso mese/anno non solo di più persone di quel sottogruppo, ma anche delle persone che poi vengono ancora successivamente considerate negli altri sottogruppi. Von Mises determina invece questa possibilità una sola volta, e solo alla fine, col "complemento a 1": l'errore porta, con la sommatoria, il valore della probabilità a superare, a un certo punto, il valore 1 !!!
boiler, che ulteriormente ringrazio, mi ha dato grosso spunto a riflettere su questo.
Tali considerazioni, se corrette, potrebbero concettualmente aiutare a comprendere, nei vari casi, se utilizzare la probabilità semplice o complementare, al di là dei formalismi matematici, e relative generalizzazioni metodologiche, sempre straordinari e utili, ma spesso, almeno per me, di difficile concettualizzazione.
Grazie ancora.