Paradosso del condensatore

[BrunoValente]

Nel pdf "Insegnare relatività nel XXI secolo" (si trova in rete) l'autore, prof. Elio Fabri, propone il seguente paradosso:

Il paradosso del condensatore

A proposito di PR, ecco ora un “paradosso,” che però non è un paradosso
relativistico in senso proprio: appare un paradosso solo se non si conosce la
relatività.
Abbiamo il solito condensatore piano sufficientemente grande (fig. 4–4), per
cui sono sicuro che il campo è uniforme; ho indicato i segni delle cariche e il verso
del campo. Da dentro il condensatore — non da fuori, è importante — lancio un
elettrone in direzione parallela alle armature, con velocità iniziale v0 verso destra:
esso viene deviato verso l’armatura positiva, e siccome il campo è uniforme,
la traiettoria è una parabola, come per i proiettili sulla Terra. In particolare ciò
che m’interessa `e che la componente orizzontale della velocità è costante.
Ora passiamo in un rif. che viaggia con la velocità orizzontale dell’elettrone.
In questo rif. il condensatore si muove in senso opposto, con velocità −v0. Abbiamo dunque sulle due armature cariche negative e cariche positive che vanno
verso sinistra, e si hanno due correnti: le frecce in fig. 4–5 indicano i versi delle
correnti, che sono ovviamente opposti sulle due armature. Le correnti producono
un campo magnetico, che risulta diretto verso l’interno della figura.
In questo rif. l’elettrone è inizialmente fermo. Lo lascio andare e comincia a
cadere; cadendo acquista velocità, e con la velocità compare una forza di Lorentz,
progressivamente crescente: la forza è tale da deviare l’elettrone verso sinistra.
Dunque la velocità orizzontale dell’elettrone, che era nulla all’inizio, poi diventa
negativa. Come vedete, in un rif. ho concluso che la velocità orizzontale era
costante, nell’altro che non è costante, e ciò non è possibile! Pensateci su.

Purtroppo il prof. Fabri nel pdf si limita a proporre l'apparente paradosso senza darne la spiegazione.

Io avrei una mezza idea su come vanno le cose ma per ora la tengo per me per due buoni motivi : anzitutto non voglio privare chi legge del divertimento che si prova a scervellarsi su queste cose e poi non sono affatto sicuro della mia mezza idea e per ora non voglio fare brutta figura .

Se poi le cose si metteranno male e nessuno riuscirà a trovare una spiegazione (non credo proprio) allora, visto che sarò in buona compagnia, mi farò coraggio

Se poi, come è probabile, la mia spiegazione farà acqua saranno benvenuti gli esperti a tirarmi le orecchie

[BrunoValente]

Scusate mi sono accorto ora che qui in rete si trova la spiegazione del paradosso fatta proprio dal prof Fabri.

Io, molto semplicemente, avevo individuato l'errore nel modo di comporre le velocità dell'elettrone nel riferimento K fig. 4-4.

In poche parole, se si tiene conto della relatività, la componente y della velocità, man mano che aumenta, dovrebbe far diminuire il valore della componente x che quindi non è vero che resta costante, questo perché in relatività le velocità non si compongono semplicemente sommando le varie componenti e la velocità risultante è sempre inferiore alla somma delle componenti.

Quindi, se in relatività vale ancora la regola del parallelogramma e se la risultante deve essere inferiore alla somma vettoriale delle due componenti x e y, vuol dire che le componenti si influenzano a vicenda e che quindi all'aumento del valore dell'una deve corrispondere in una certa misura una diminuzione del valore dell'altra.

Nel riferimento K' di fig. 4-5 invece, siccome compare il campo magnetico, non occorre scomodare la relatività, anche con la fisica classica si ottiene il risultato corretto.

Mi pare che grosso modo la mia spiegazione terra terra comunque corrisponda a quella data dal prof. Fabri anche se la sua, ovviamente, è molto più completa, che ne dite?

[EcoTan]

Però la componente orizzontale della velocità dell'elettrone o è costante o non lo è. Possiamo introdurre tutte le correzioni relativistiche che vogliamo, la velocità potrà anche apparire diversa per i diversi osservatori inerziali, ma se è costante per uno è costante per tutti.
La mia scelta può sembrare antiscientifica: la forza di Lorentz (F=qVxB) vale nel riferimento delle stelle fisse. Ciò non vieta di passare poi ad altri riferimenti.

[BrunoValente]

EcoTan, forse mi sono espresso male ma a me pare che la componente x NON sia costante né in K né in K'.

Nel riferimento K non è costante perché c'è la componente y che non è costante.

Secondo la relatività componendo vettorialmente le due componenti si ottiene una risultante che NON è pari alla somma vettoriale delle due componenti x e y, ma che è minore della somma, di conseguenza se la regola del parallelogramma deve valere dovrebbe voler dire che la componente x, man mano che la componente y aumenta, si deve ridurre e per questo non resta costante.

Ditemi se sbaglio.

[IlGuru]

la componente x, man mano che la componente y aumenta, si deve ridurre e per questo non resta costante.

Secondo la spiegazione fornita dal prof. Fabri, Vx decresce al crescere del fattore di Lorentz per la conservazione della componente x della quantità di moto.

[EcoTan]

In particolare ciò
che m’interessa `e che la componente orizzontale della velocità è costante.

la componente x NON sia costante né in K né in K'

secondo me o è costante (nel tempo) o non lo è, specialmente in K.

[BrunoValente]

Secondo me non è costante né in K né in K', lo sto dicendo dall'inizio.

BrunoValente ha scritto:
In particolare ciò
che m’interessa `e che la componente orizzontale della velocità è costante.

Questo non l'ho scritto io, l'ha scritto il prof. Fabri nella descrizione del paradosso ma solo nella descrizione e, da quello che ho capito, lo ha scritto per enfatizzare ciò che sembra essere ovvio, poi invece quando spiega dov'è l'inghippo dice che l'errore è proprio lì.

[EcoTan]

Vorrei capire meglio il tuo discorso sulla composizione dei vettori.
La velocità v entra nella definizione di gamma e le sue componenti entrano nel principio di conservazione dell'impulso. Possiamo sempre dire che

o non è più vero? (mi confonderebbe alquanto).
Comunque la soluzione del paradosso mi sembra ormai chiara, è un concetto abbastanza importante.

[BrunoValente]

o non è più vero? (mi confonderebbe alquanto).

Certo che è ancora vero!

Comunque tieni sempre conto del fatto che non sono un esperto di queste cose, quindi oltre a non sapermi esprimere correttamente potrei anche sbagliarmi, comunque provo a dire la mia, se sbaglio spero qualcuno mi corregga.

A quanto ne so in fisica classica, dove non si tiene conto degli effetti che ha la velocità sulla massa di un corpo in movimento, le due componenti x e y della velocità sono completamente indipendenti, cioè ciascuna componente non risente affatto delle vicende dell'altra, se la componente x è costante e la componente y varia succede che la componente x continua a rimanere costante senza subire alcuna influenza dalla componente y.

Di conseguenza in fisica classica questo vale anche per le due componenti x e y della quantità di moto, quindi se sulla massa inizialmente in moto con velocità costante verso x ad un certo punto inizia ad agire una forza che produce un'accelerazione in direzione y succede che le componenti y della velocità e della quantità di moto iniziano ad incrementare mentre le componenti x, della velocità e della quantità di moto non variano.

In relatività, dove invece si tiene conto dell'influenza della velocità sulla massa totale (energia interna + energia cinetica) del corpo in movimento, succede che le due componenti della velocità non sono più indipendenti: se la componente x della velocità inizialmente è costante e ad un certo punto una forza inizia ad agire in direzione y facendo incrementare la componente y della velocità, succede che la componente x della velocità inizia a diminuire.

Secondo me questo succede perché se inizia ad incrementare la componente y della velocità vuol dire che inizia ad incrementare anche la risultante della velocità, quindi oltre ad aumentare la velocità inizia ad aumentare anche l'energia cinetica del corpo in movimento, quindi anche la sua massa totale.

Per conseguenza di questo, siccome la componente x della quantità di moto deve conservarsi e siccome la massa complessiva aumenta, per forza di cose deve ridursi la componente x della velocità.

Detto in breve: se in direzione x non agisce nessuna forza allora deve conservarsi la componente x della quantità di moto e di conseguenza, se la massa aumenta, deve ridursi la componente x della velocità.

[BrunoValente]

Però a pensarci bene mi sa che la mia spiegazione fa acqua: lo stesso effetto di riduzione della componente x della velocità nel riferimento K si manifesterebbe anche se invece del condensatore e del suo campo elettrico vi fosse un campo gravitazionale e se al posto dell'elettrone vi fosse un sasso lanciato orizzontalmente.

Se la mia spiegazione fosse corretta allora un osservatore nel riferimento K' che si muove orizzontalmente nella stessa direzione del sasso e con una velocità costante pari alla velocità iniziale del sasso vedrebbe il sasso cadere non verticalmente e questo mi pare sia impossibile.