Criterio di stabilità di Bode

[stardust79]

Ciao, per curiosità, su che dimostrazione matematica si basa il criterio di stabilità di Bode ?
(parlo di quello in cui si valuta il margine di fase e margine di guadagno della funzione di anello aperto per valutare la stabilità dell'anello chiuso).

Grazie mille ciao.

[PietroBaima]

Il criterio di stabilità di Bode, basato sull’analisi della funzione di trasferimento ad anello aperto di un sistema, si collega principalmente al criterio di Nyquist e a concetti derivati dalla teoria del controllo e dall’analisi dei sistemi dinamici. Utilizza due parametri principali per valutare la stabilità di un sistema in retroazione:
Margine di fase: quanto la fase della risposta ad anello aperto può avvicinarsi a -180° prima di rendere il sistema instabile.
Margine di guadagno: di quanto può aumentare il guadagno ad anello aperto prima che il sistema diventi instabile.

Questi parametri vengono determinati tramite il diagramma di Bode della funzione di trasferimento ad anello aperto .

Per un sistema con retroazione negativa, la funzione di trasferimento ad anello chiuso è:


La stabilità del sistema chiuso dipende dallo zero del denominatore, cioè dalla soluzione di:



Il valore -1 nel piano complesso corrisponde a un guadagno 1 con una fase di -180°.

Il criterio di Nyquist dimostra che un sistema ad anello chiuso è stabile se la curva nel piano complesso non circonda il punto critico -1, tenendo conto dei poli di L(s) nel semipiano destro.

Per sistemi lineari a tempo invarianti (LTI), Nyquist può essere tradotto nei margini di fase e margini di guadagno:
Margine di fase: la distanza in gradi della fase della risposta ad anello aperto dalla condizione -180° quando il guadagno è unitario ().
Margine di guadagno: la distanza in decibel tra il guadagno e 1 quando la fase è -180°

Il criterio di Bode è quindi una versione semplificata del criterio di Nyquist:
1. Si traccia il diagramma di Bode della funzione ad anello aperto , con:
Il diagramma del modulo in dB.
Il diagramma della fase in gradi.
2. Si controllano due punti chiave:
La frequenza di attraversamento del guadagno (): dove o 0dB. Qui si misura il margine di fase come la distanza della fase da -180°.
La frequenza di attraversamento della fase (): dove la fase è -180°. Qui si misura il margine di guadagno come la distanza del guadagno da 1 (o 0dB).

Dal punto di vista matematico, il criterio di Bode sfrutta la condizione di stabilità legata al punto critico -1 di Nyquist perché si basa sulla distanza del guadagno e della fase della funzione ad anello aperto dal punto critico -1 nel piano complesso. È utile per valutare la stabilità senza dover tracciare il percorso completo di Nyquist, ma utilizzando i diagrammi di Bode.

EDIT: corretto erroraccio. Grazie IsidoroKZ!

[IsidoroKZ]

La risposta presuppone che stia studiando (o abbia studiato) la retroazione, quindi non vado a definire tutti i concetti che uso. Se ci sono punti oscuri, basta chiedere

La funzione di trasferimento di un sistema retroazionato ha sempre una forma di frazione con una somma a denominatore, ad esempio .
Quando il denominatore tenze a zero, il risultato diverge, "quindi" diventa instabile.

I criteri di Bode sono due modi di misurare quanto il denominatore e` vicino a zero, quindi quanto il termine e` lontano da -1. Poiche il prodotto (guadagno di anello, o anche rapporto di ritorno) e` un numero complesso, bisogna dare qualche informazione piu` dettagliata rispetto a dire che vale, ad esempio -0.9.

Appunto perche' e` un valore complesso, che ha parte reale e parte immaginaria, oppure modulo e fase, e` necessario fornire due valori per vedere quanto siamo lontani dal punto critico -1. Per comodita` di misura (e di calcolo grafico), si preferisce lavorare con modulo e fase, e vedere quanto manca ad arrivare al punto critico -1 che fa esplodere la funzione. Nel piano complesso il punto -1 ha modulo 1 e fase -180°.

Quello che per comodita` si fa e` di guardare quando il modulo e` gia` 1, quanto manca alla fase per arrivare a -180°, oppure quando la fase arriva a -180° quanto ci manca per arrivare a 1 (suppongo che sappia cos'e` il margine di guadagno e non sto a discutere che il modulo arriva a 1 provenendo da valori minori di 1).

L'idea generale e` vedere la distanza del guadagno di anello da -1 (limite per la stabilita`) e se si va oltre si entra in instabilita`.

I criteri di Bode sono criteri euristici, sono facili da capire, comodi da calcolare, non troppo complicati da misurare... ma l'idea che c'e` dietro e` sbagliata . Nel senso che per lo piu` funziona ma ci sono dei casi in cui non vanno. In particolare il margine di guadagno puo` dare degli allarmi del tipo "e` instabile", mentre il sistema e` stabile. Se si vuole essere sicuri del risultato bisogna usare Nyquist.

Se al posto di volere un sistema stabile, lo si vuole instabile perche' si sta progettando un oscillatore, l'idea ingenua e` che basti imporre e si hanno cosi` i criteri di Barkhausen, anche loro con qualche problema

POST SCRIPTUM: avevo scritto questa risposta e poi mi sono dimenticato di spedirla! Nel frattempo ha risposto PietroBaima e tutto quanto ho scritto prima puo` andare à la poubelle

[PietroBaima]

POST SCRIPTUM: avevo scritto questa risposta e poi mi sono dimenticato di spedirla! Nel frattempo ha risposto PietroBaima e tutto quanto ho scritto prima puo` andare à la poubelle

Invece mi sembra che quanto è stato integrato sia utile (come se ci fosse bisogno di dirlo).