Metrica e prodotti scalari in GR

[Ianero]

Ciao a tutti,
sto cercando di studiare, con tutti i miei limiti, relatività generale dal libro di Wald "General Relativity".
A un certo punto (pag. 22) introduce il concetto di metrica definendola come un tensore di tipo (0,2), che abbia le proprietà di essere simmetrico e non degenere.
Poi aggiunge la frase:
In other words, a metric is a (not necessarily positive definite) inner product on the tangent space at each point.

Quello che non capisco di questa frase è il fatto che lui in qualche modo sta dicendo che , quando invece normalmente è il contrario.
Per fare la sua affermazione, dovrei rendermi conto che la metrica che ha introdotto può discendere da un qualche prodotto scalare, molto probabilmente il seguente:


ma purtroppo, quando vado a sincerarmi che l'operatore appena definito soddisfi effettivamente gli assiomi di prodotto scalare, mi rendo conto che la "positive definiteness" non vale, per cui devo dedurre che quello non è un prodotto scalare.

Dove mi sto sbagliando?

Vi ringrazio in anticipo.

[PietroBaima]

Non ho molto tempo adesso, ma il tuo errore sta nel cercare di interpretare la metrica g come un prodotto scalare in senso classico, cioè positivo definito. In realtà g è una generalizzazione del prodotto interno, che non richiede positività definita.
La frase di Wald è corretta nel contesto della relatività generale, dove un “inner product” non implica positività.

Se hai in mente il prodotto scalare tradizionale, devi abbandonare l’idea che g soddisfi positività definita. Questo passaggio è fondamentale per comprendere la metrica in relatività generale.

[Ianero]

Quindi andrebbe ricontrollato che tutti i teoremi che discendono dagli assiomi del prodotto scalare valgano ancora. Tipo ad esempio la disuguaglianza di Cauchy già non vale più.
Poi non ho capito, se è un prodotto interno, perché la chiamo metrica? E' come chiamare il prodotto scalare "metrica". E' ovvio che da un prodotto scalare si può ricavare una norma e poi una metrica, ma mi pare fuorviante detta così. Ci sarà sicuramente un motivo più serio che non vedo. Qual è?

[Ianero]

Posso chiederti se hai avuto modo di trovare un po' di tempo, Pietro, per favore?

[IlGuru]

Se non ricordo male ed in questo caso sarò contento di essere smentito, in geometria differenziale la metrica è una primitiva, non è un qualcosa che si deriva da altri assiomi.
La metrica è una cosa intrinseca della geometria, come il suo colore o il suo profumo.

Questo permette di descrivere qualunque tipo di geometria in cui quando misuro la lunghezza di un vettore posso sommare i quadrati di alcune componenti e sottrarne altri, mentre con il prodotto scalare per sottrarre il quadrato di una componente sarei costretto ad introdurre le componenti definite su un campo complesso, cosa che magari genera più problemi di quelli che risolve.

Quindi è si un prodotto scalare, ma più potente del solito prodotto scalare perché puoi stabilire che ad esempio e quando trasformi quella componente del tensore metrico tramite una trasformazione di coordinate, quel -1 della metrica viene ereditato anche dal sistema di coordinate trasformato.

Come ti ho scritto, ricordo di aver letto da qualche parte proprio questa cosa sulla gerarchia dei vari concetti che si trovano in geometria differenziale ed in algebra lineare, appena lo trovo lo pubblico.

[PietroBaima]

Scusa se non ti ho più risposto. Vorrei continuare il discorso che ha iniziato IlGuru. Vediamo di alzare un po’ il livello, se ci riesco.

La questione che sollevi riguarda sia la validità dei teoremi derivati dagli assiomi del prodotto scalare, sia il motivo per cui la metrica viene chiamata così invece di essere semplicemente indicata come “prodotto interno”. Per chiarire, iniziamo col dire che non tutti i teoremi che valgono per il prodotto scalare positivo definito continuano a valere in presenza di una metrica indefinita, come quella che incontriamo in relatività generale. Ad esempio, la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz non è valida in generale. Se consideriamo la metrica di Minkowski nella relatività speciale, che è data da , possiamo osservare che g(u, u) può essere positivo, negativo o nullo, a seconda del tipo di vettore u. Questo comportamento è incompatibile con la positività definita, che è essenziale per la validità della disuguaglianza di Cauchy-Schwarz. Ad esempio, un vettore temporale u con g(u, u) < 0 e un vettore spaziale v con g(v, v) > 0 possono violare la relazione .

Questo ci porta a chiarire perché si usa il termine “metrica” invece di “prodotto interno”. La scelta di chiamarla metrica deriva principalmente dal contesto della geometria differenziale e della relatività generale, dove il termine “metrica” descrive una struttura che consente di misurare lunghezze, angoli e intervalli sullo spazio tangente. Anche se non è positivo definita, la metrica definisce proprietà geometriche fondamentali. In geometria differenziale, una metrica è una forma bilineare simmetrica non degenere, che permette di definire la geometria dello spazio o dello spaziotempo, indipendentemente dalla positività definita. Ad esempio, nella relatività generale, la metrica è un tensore che determina non solo la lunghezza degli intervalli nello spaziotempo tramite , ma anche le proprietà causali (se un intervallo è di tipo temporale, spaziale o nullo) e la curvatura dello spaziotempo.

Un altro motivo per cui si preferisce il termine “metrica” è che essa è una struttura globale, definita su tutto lo spaziotempo, mentre il prodotto interno è una nozione locale definita su un singolo spazio vettoriale. La metrica permette di mettere in relazione prodotti interni in punti diversi dello spaziotempo e, più in generale, di descrivere la curvatura dello spaziotempo attraverso il tensore di Riemann, che è una derivata della metrica. Inoltre, nonostante in uno spazio euclideo un prodotto scalare induca una norma e quindi una metrica di distanza, nel caso della relatività generale la metrica g non induce una norma nel senso tradizionale, poiché g(u, u) può assumere valori negativi, positivi o nulli. La distanza tra punti nello spaziotempo non è una nozione semplice come in uno spazio euclideo e include considerazioni causali.

Infine, c’è una ragione storica e fisica. Nella relatività generale, la metrica è il cuore della teoria: è ciò che descrive come la materia e l’energia influenzano lo spaziotempo attraverso le equazioni di Einstein. Chiamarla “prodotto interno” sarebbe riduttivo, perché il suo ruolo va ben oltre quello di una semplice misura locale sui vettori tangenti. Per comprendere questa differenza, possiamo pensare che in geometria euclidea la metrica è un concetto implicito dietro il prodotto scalare, mentre in relatività generale la metrica è il concetto fondamentale, da cui discende tutto il resto, incluso il prodotto interno.

In definitiva, il motivo per cui si usa il termine “metrica” è che questa struttura non solo generalizza il prodotto interno, ma definisce la geometria globale dello spaziotempo e le sue proprietà fisiche, superando di gran lunga il ruolo del prodotto interno nei contesti classici.

[Ianero]

Vi ringrazio.

Ho trovato particolarmente illuminante questa:

Un altro motivo per cui si preferisce il termine “metrica” è che essa è una struttura globale, definita su tutto lo spaziotempo, mentre il prodotto interno è una nozione locale definita su un singolo spazio vettoriale.

insieme ovviamente a tutte le altre motivazioni.
Grazie ancora

[PietroBaima]

Eh, dovresti ringraziare il prof. Fabri, mica me… Le sue lezioni erano a dir poco illuminanti.

[IlGuru]

Hai nominato un Gigante.
Era sempre presente sul newsgroup it.scienza.fisica.