Derivate parziali

[EcoTan]

Supponiamo di avere, sullo stesso piano, due riferimenti cartesiani aventi rispettivamente assi X1,X2 ortogonali e assi x1,x2 obliqui. L'unità di misura sia sempre la stessa. Con le derivate parziali delle coordinate possiamo costruire lo jacobiano della relativa trasformazione:


Adesso però andiamo più in dettaglio.
Grazie alla linearità delle elementarissime ipotesi adottate, la matrice rimane la stessa in tutti i punti del piano quindi anche nell'origine, inoltre possiamo considerare incrementi finiti al posto dei corrispondenti infinitesimi.

Con riferimento alla metà sinistra della figura, consideriamo incrementi unitari ðX1,ðX2 delle due coordinate "a denominatore" X1,X2. I corrispondenti incrementi delle coordinate x1,x2 sono però in numero di quattro: ðx11,ðx12,ðx21,ðx22.
Non credo di sbagliare dicendo che la matrice vale:

cioè, prendendo i numeri empiricamente dalla figura con Autocad:


Però possiamo anche guardare la metà destra della figura.
In tal caso diamo incrementi unitari ðx1,ðx2 alle coordinate x1,x2 a numeratore ed abbiamo quattro corrispondenti incrementi delle coordinate X1,X2 cioè ðX11,ðX12,ðX21,ðX22.
Stavolta scriviamo:

e mettendo i valori numerici della figura:

che non è la stessa cosa che abbiamo ottenuto col primo procedimento.
Ritengo che il primo procedimento sia quello conducente ma non saprei spiegare bene perché.
Forse perché applicando opportunamente due dei quattro incrementi andiamo a cadere in un punto di un asse ortogonale.

[GioArca67]

Hai impostato correttamente il caso di sinistra, ma stai confondendo dominio e codominio in quello di destra.
In quello di sinistra hai trovato la matrice di trasformazione da X1,X2 a x1,x2: se la applichi ad un vettore di X1,X2 trovi le coordinate di quel vettore in x1,x2.
Ad es. se prendi il vettore (1;1) in X1,X2 e lo moltiplichi per la prima matrice jacobiana che hai scritto trovi (0,8632; 0,7296)

Passiamo al caso di destra.
Se lo vuoi guardare da un altro punto di vista, puoi considerare che ðX11,ðX12,ðX21,ðX22 altro non sono che il risultato di una rotazione del versore X1 di 20° e di 75° quindi
ðX11 = cos(20°) = 0,9397
ðX12 = sin(20°) = 0,342
ðX21 = cos(75°) = 0,2588
ðX22 = sin(75°) = 0,9659
Cioè proprio i valori che hai rilevato col CAD a destra e sono la trasformazione per passare da x1,x2 ad X1,X2.
Ad es. se prendi il vettore (1;1) in x1,x2 e lo moltiplichi per questa matrice trovi (1,1985; 1,3079)

Allora se prendi la prima matrice jacobiana (che ti permette di passare da X1,X2 a x1,x2) e ne fai l'inversa trovi la trasformazione che ti permette di passare da x1,x2 a X1,X2 , che non è però la seconda che hai scritto.

Se nel file CAD che hai usato disegni un vettore OP dall'origine puoi provare a rilevare le coordinate dell'estremo P in entrambi i sistemi di riferimento (allo stesso modo di come hai fatto con i versori delle due basi) e potrai verificare passando dall'uno all'altro con le matrici trovate.

Procedendo correttamente in entrambi i modi (da X a x e da x a X) troverai comunque matrici diverse, ma sicuramente l'una l'inverso dell'altra.

PS. non dirò mai, nemmeno sotto tortura, come ho scovato che x2 è ruotato di 75° rispetto a X1...

[EcoTan]

Grazie. Quindi è vero che il procedimento giusto è quello di sinistra. Mi torna anche per un'altra circostanza: interpretando le citate derivate parziali come componenti di due vettori in x1,x2 questi puntano nelle direzioni degli assi ortogonali X1,X2 (anzi, sono semplicemente i versori unitari degli assi).

[EcoTan]

Se applico la definizione incrementale di derivata, faccio fatica a trovare la pecca nel procedimento "di destra" della figura precedente per quantificare le derivate parziali.
Meditando un po' sulla cosa, ho tirato fuori una terza figura, sempre lasciando gli stessi assi di riferimento:

derivate2.JPG (15.99 KiB) Osservato 24411 volte

Questa volta ho indicato a tratteggio anche la circonferenza di raggio unitario.
In questo modo ottengo i valori giusti delle derivate parziali; infatti era troppo strano che bisognasse per forza partire dall'incremento del denominatore e non del numeratore.
A questo punto mi viene una domanda, premesso che non sono un matematico:
non ci sono dubbi che le coordinate oblique x siano funzione delle coordinate ortogonali X e viceversa.
Tale funzione di per sè deve essere biunivoca e invertibile.
Ma possiamo qualificarla come funzione analitica?
Le operazioni che coinvolgono il concetto di punto geometrico, sono operazioni analiticamente rappresentabili?

P.S. mi scrivo una autorisposta "a futura memoria": le funzione è esprimibile in forma trigonometrica e quindi è analitica in quanto sviluppabile in serie, tuttavia l'individuazione di tale funzione è una operazione "geometrica" o se vogliamo filosofare anche "fisica".