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da **alexic** » 4 lug 2009, 19:42

Ecco alcune domande secche a cui spero voi possiate dare risposta

* Dato un circuito RC serie con ingresso tensione di tipo sinusoidale, quali sono le condizioni per l'assenza di transitorio?
Mia risposta: dato che la risposta del circuito è una funzione del tipo (wow la mia prima espressione latex!)
$V(t)=Ke^-\frac{t }{RC} + Acos(\omega t)+Bcos(\omega t)$ , il transitorio non c'è se e solo se il parametro K è nullo, ma ciò non avviene solo se le condizione iniziale di Vc=0?

* Avete materiale sulla risposta all'impulso delta di dirac di un circuito RLC parallelo?

* Per un grafico della risposta in frequenza e/o fase, cosa cambia tra andamento asintotico e qualitativo?
Se faccio il diagramma di Bode "spigoloso" è asintotico, se faccio i raccordini è qualitativo?

da **RenzoDF** » 6 lug 2009, 0:18

alexic ha scritto:... RC serie con ingresso tensione di tipo sinusoidale, quali sono le condizioni per l'assenza di transitorio? [/b]
Mia risposta: dato che la risposta del circuito è una funzione del tipo
$V(t)=Ke^-\frac{t }{RC} + Acos(\omega t)+Bcos(\omega t)$ , il transitorio non c'è se e solo se il parametro K è nullo, ma ciò non avviene solo se le condizione iniziale di Vc=0?

.... $V(t)=K\,e^{-}\frac{t}{RC}+Asin(\omega t)+Bcos(\omega t)$ ... :!:

(occhio alla sequenza dei caratteri K e, che viene intesa come una abbreviazione SMS, e quindi corretta dal correttore automatico in che, se non usi uno spazio fra K ed e ... l'esponente poi ... e' un po' "basso" ;-)

)

NO

... il coefficiente K non si azzera per $v_{c}(0-)=0$ ! ... in quanto ricavando i tre parametri: A,B e K con
$e(t)=V_{M}\sin (\omega t)$

dall'equazione differenziale iniziale

$RC\frac{dv_{c}}{dx}+v_{c}=V_{M}\sin (\omega t)$

se cerchiamo una soluzione del suddetto tipo
usando la condizione iniziale e quella a regime avremo

$\left\{ \begin{align} & v_{c}(0-)=K+B \\ & \tau (\omega A\cdot \cos (\omega t)-\omega B\sin (\omega t))+A\sin (\omega t)+B\cos (\omega t)=V_{M}\sin (\omega t) \\ \end{align} \right.$

e di conseguenza

$\left\{ \begin{align} & K=-B+v_{c}(0-) \\ & -\tau \omega B+A=V_{M} \\ & \omega \tau A+B=0 \\ \end{align} \right.$

e ancora

$\left\{ \begin{align} & B=-V_{M}\frac{\omega \tau }{1+\omega ^{2}\tau ^{2}} \\ & A=V_{M}\frac{1}{1+\omega ^{2}\tau ^{2}} \\ & K=v_{c}(0-)+V_{M}\frac{\omega \tau }{1+\omega ^{2}\tau ^{2}} \\ \end{align} \right.$

e quindi anche se $v_{c}(0-)=0$ il $K\ne 0$ :!:

e la soluzione completa sarà

$v_{c}(t)=\left( v_{c}(0-)+V_{M}\frac{\omega \tau }{1+\omega ^{2}\tau ^{2}} \right)\cdot e^{-\frac{t}{\tau }}+V_{M}\frac{1}{1+\omega ^{2}\tau ^{2}}\left( \sin (\omega t)-\omega \tau \cdot \cos (\omega t) \right)$

di conseguenza per non avere transitorio e quindi K=0 dovremo avere che

$\frac{\omega \tau }{1+\omega ^{2}\tau ^{2}}=-\frac{v_{c}(0-)}{V_{M}}$

che porta ad una soluzione reale solo se $v_{c}(0-)$ è negativa :!:

usando wxMaxima

: ri1.png (3.63 KiB) Osservato 1444 volte

e scartata la seconda soluzione, rimane

$RC=-\frac{\sqrt{V_{M}^{2}-4v(0-)^{2}}+V_{M}}{2\omega v_{c}(0-)}$

che impone

$V_{M}^{2}-4v_{c}(0-)^{2}\ge 0$

che porta ad aggiungere una disuguaglianza; la tensione iniziale su C deve soddisfare le seguenti condizioni

$\left\{ \begin{align} & v_{c}(0-)<0 \\ & \left| v_{c}(0-) \right|\le \frac{V_{M}}{2} \\ \end{align} \right.$
-------------------------------------------------------------------
Dato che vedo già qualche "SanTommaso" storcere il naso, e considerato che forse è anche meglio controllare :wink:
proviamo a vedere se le condizioni ricavate per via analitica forniscono la risposta attesa dal sistema :!:

fissiamo per es:

$\omega =4\,\,rad\cdot s^{-1}\,\,\,\,\,e\,\,\,\,\,\,\,V_{M}=2\,\,V$

e di conseguenza scelgo, per esempio, una $v_{c}(0-)=-1\,\,\,V$ ... nell'intervallo [-1,0)

particolarizziamo la funzione e plottiamola sempre con il "nostro" FreeTool

: ri2.png (4.99 KiB) Osservato 1442 volte

: ri3.png (5.43 KiB) Osservato 1442 volte

Verifica effettuata ----- Transitorio sparito ----- :!:

come prova finale, possiamo simulare il circuito usando LTspice inserendo il circuito

: LT1.png (6.38 KiB) Osservato 1380 volte

inserendo la condizione iniziale sul condensatore come in fig.

: LT2.png (8.9 KiB) Osservato 1380 volte

e settando l'uso dei valori iniziali nella simulazione, aggiungendo manualmente uic nella riga della simulazione

: LT3.png (13.92 KiB) Osservato 1379 volte

ora non resta che simulare per ottenere

: LT4.png (9.3 KiB) Osservato 1379 volte

e con VisSim, dove potremo anche variare R e C con due "slider"

: vs.png (11.3 KiB) Osservato 1352 volte

Con Scicos la costruzione dello schema a blocchi è un po' più lunga, vorrei solo sapere chi è quel "genio" che ha progettato l'interfaccia grafica! #-o

: RC_1a.png (11.8 KiB) Osservato 1337 volte

e la simulazione porta ancora a

: RC_1b.png (8.3 KiB) Osservato 1337 volte

... e per fortuna è un semplice circuito RC :mrgreen:

=====================================================================================
La soluzione ottenuta sopra per via analitica, può essere anche ricavata più velocemente per via simbolica con wxMaxima

: tr1.png (14.38 KiB) Osservato 1499 volte

e, particolarizzandola proprio per v(o-)=0, l'andamento della tensione sul condensatore sarà

: tr2.png (31.08 KiB) Osservato 1491 volte

dimostrando che non basta un condensatore scarico per eliminare il transitorio :!:

ovviamente la soluzione può essere messa in una forma più compatta

$v_{c}(t)=V_{M}\frac{\omega \tau }{1+\omega ^{2}\tau ^{2}}\cdot e^{-\frac{t}{\tau }}+\frac{V_{M}}{\sqrt{1+\omega ^{2}\tau ^{2}}}\cdot \sin (\omega t-\arctan (\omega \tau ))$

e la parte a regime in una forma più familiare

$\begin{align} & v_{cr}(t)=\frac{V_{M}}{\sqrt{1+\omega ^{2}R^{2}C^{2}}}\cdot \sin (\omega t-\arctan (R\omega C)) \\ & v_{cr}(t)=V_{M}\frac{X_{C}}{Z}\cdot \sin \left[ \omega t-\arctan \left( \frac{R}{X_{C}} \right) \right] \\ \end{align}$

da **danyrus07** » 6 lug 2009, 23:18

Il diagramma di bode delle fasi "asintotico" è rappresentato da spezzate che rispetto al "qualitativo" presenta un errore massimo di circa 3dB nei punti rottura della funzione.. :lol:

Ciao!

da **RenzoDF** » 15 lug 2009, 22:46

Visto che la domanda era interessante e per il momento non ho tempo di scrivere un'articoletto, la riciclo come esempio d'uso dei FreeTools di Electroportal, per chi fosse interessato, contrariamente a chi l'ha postata :mrgreen:

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