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Aiuto circuito RL

Circuiti e campi elettromagnetici

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[1] Aiuto circuito RL

Messaggioda Foto Utentesupergiox » 31 ago 2010, 16:05

Ciao a tutti!
Sto studiando elettrotecnica e ancora ho un bel po' di problemi..

In particolare sto impazzendo per risolvere questo esercizio:
Immagine

Ho provato a risolverlo con il "metodo sistematico" come consiglia il mio libro, che consiste nelle seguenti fasi:
-determinare la corrente prima della chiusura dell'interruttore: iL(+\infty)=1A
-determinare la corrente dopo iL(+\infty)=7.5A
-resistenza "vista" dall'induttanza Req=18/13
-costante di tempo \tau=L/R=13/9
-sostituire gli questi elementi alla formula: iL(t)=[iL(0-)-iL(+\infty)]e^{-t/\tau}+iL(\infty)
(nel mio caso quindi: iL(t)=-6.5e^{-9t/13}+7.5)

Adesso per trovare la corrente i(t) richiesta, considerando che quando l'interruttore si chiude la resistenza da 9 Ohm viene cortocircuitata, calcolo la tensione ai capi dell'induttanza (come derivata della iL(t) moltiplicata per L/R)
ottenendo vL(t)=-6.5e^{-9t/13} e infine, essendo quest'ultima direttamente applicata ai capi della resistenza da
4.5 Ohm calcolo i(t) come vL(t)/4.5=1.44e^{-9t/13}+7.5.

Ma evidentemente non va bene.. cosa sbaglio??
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[2] Re: Aiuto circuito RL

Messaggioda Foto UtenteIsidoroKZ » 31 ago 2010, 17:14

La fai complicata :) Il sistema piu` semplice credo sia di considerare che in una rete con una sola costante di tempo, in seguito a una variazione di quel tipo, tutte le tensioni e correnti si muovono come esponenziali. Puoi quindi scrivere direttamente l'espressione della corrente i1(t) facendo pero` attenzione al fatto che la corrente i1 non e` una variabile di stato e quindi, a differenza della corrente nell'induttore, puo` avere delle discontinuita` (salti).

Devi quindi cercare la corrente i1(0+) la corrente i1(inf) e scrivi direttamente l'esponenziale. Quando passi da i1(0-) a i1(0+) la corrente nell'induttore ha sempre lo stesso valore, 1A. Il circuito equivalente per calcolare i1(0+) e` sotto a sinistra, mentre quello per calcolare i1(inf) e` a destra. Si vede immediatamente che i1(inf)=0A mentre i1(0+) viene 2A.

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[3] Re: Aiuto circuito RL

Messaggioda Foto UtenteIsidoroKZ » 31 ago 2010, 17:34

Dato che chiedevi dove fosse l'errore, rispondo anche a quello.

supergiox ha scritto:ottenendo vL(t)=-6.5e^{-9t/13} e infine, essendo quest'ultima direttamente applicata ai capi della resistenza da 4.5 Ohm calcolo i(t) come vL(t)/4.5=1.44e^{-9t/13}+7.5.


Quanto fa la derivata di i_L(t)=-6.5\,\text{A}\cdot\text{e}^{-\frac{9}{13\,\text{s}}t}+7.5\,\text{A} ?

E nel risultato, dopo aver diviso per 4.5 ohm, come fa a saltare di nuovo fuori una costante?
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[4] Re: Aiuto circuito RL

Messaggioda Foto Utentesupergiox » 31 ago 2010, 18:23

Ciao e grazie mille per la risposta :) Finalmente ho capito dove sbagliavo..
La derivata era giusta ma ho scritto un termine noto in più su tex

quello che sbagliavo è che non dovevo moltiplicarla per L/R ma soltanto per L!

Invece se non ho capito male, mi suggerisci di utilizzare il mio metodo non sulla iL ma direttamente sulla corrente interessata?
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[5] Re: Aiuto circuito RL

Messaggioda Foto UtenteIsidoroKZ » 31 ago 2010, 18:35

A me sembrava che la derivata fosse sbagliata perche' non moltiplicavi per la derivata dell'esponente, ma non avendo visto tutti i passaggi puo` darsi che fosse giusta. Forse hai moltiplicato per la costante di tempo, al posto di moltiplicare solo per L e dividere per 4.5 ohm.

Io l'avrei fatto come ho indicato. Tutte le correnti e tensioni nel circuito si muovono come esponenziali che vanno a zero, partendo da un valore iniziale e tenendo al valore finale. Bisogna solo trovare i due valori, tenendo conto che bisogna considerare il valore all'istante 0+, perche' non essendo variabili di stato possono avere delle discontinuita`.
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[6] Re: Aiuto circuito RL

Messaggioda Foto UtenteRenzoDF » 1 set 2010, 14:41

In questo caso particolare, alla chiusura dell'interruttore il ramo di destra continua ad assorbire la stessa corrente che assorbiva prima della chiusura e quindi i(0+) = i(0-), mentre i(t) scende a zero per un tempo infinito (a causa del cortocircuito dell'induttore).

Come sottolineava Isidoro la costante di tempo è unica per tutti gli andamenti transitori, e quindi, trovata
\tau =\frac{13}{9}\,\text{s}
si poteva immediatamente scrivere anche la corrente i(t) come

i(t)=[i(0+)-i(\infty )]\cdot e^{-\frac{t}{\tau }}-i(\infty )=[2-0]\cdot e^{-\frac{9t}{13}}-0=2e^{-\frac{9t}{13}}
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[7] Re: Aiuto circuito RL

Messaggioda Foto Utentesupergiox » 1 set 2010, 19:36

Grazie ancora a entrambi per la disponibilità!
Si, sbagliavo perché moltiplicavo per la costante di tempo...

Seguendo i vostri suggerimenti sono riuscito ad andare più velocemente con gli esercizi.. e vorrei chiedere un'altra cosa:
come mi comporto nel caso di 2 interruttori che si aprono in istanti diversi?
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[8] Re: Aiuto circuito RL

Messaggioda Foto Utentesupergiox » 1 set 2010, 20:08

Ripensandoci forse è meglio che vi faccio vedere il caso particolare:
Immagine

Sul libro non ho visto niente di simile e ho fatto alcuni ragionamenti.. Secondo me bisogna confrontare il tempo al quale si apre il secondo interruttore con la costante di tempo, per capire se il condensatore risulta carico o meno.
Ma la costante di tempo come la trovo? considerando chiuso solo il primo interruttore? in questo modo verrebbe 18ms che è lo stesso tempo che passa prima che si apra il secondo interruttore.

Sono fuori strada?
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[9] Re: Aiuto circuito RL

Messaggioda Foto UtenteRenzoDF » 1 set 2010, 20:18

In pratica devi risolvere due esercizi: il primo con la prima chiusura e il secondo con la seconda chiusura.
E' chiaro che la seconda evoluzione la calcolerai in base ai valori raggiunti dalla prima dopo 18ms.

ovvero
1) prima chiusura

\begin{align}
  & v(0+)=v(0-)=9\,V \\ 
 & \tau _{1}=R_{eq1}C=18\,\,ms \\ 
\end{align}

v_{C}(t)=v(0+)e^{-\frac{t}{\tau _{1}}}=9e^{-\frac{500t}{9}}

(valida per 0<t< 18 ms)
--------------------------------------------------------------------------------------------
2) seconda chiusura dopo

t_{0}=18\,ms

calcolo la tensione ai capi del condensatore che rappresentera' il nuovo valore iniziale

v(t_{0})=9e^{-\frac{500}{9}\times \frac{18}{1000}}=9e^{-1}

e la uso come al solito per scrivere la seconda evoluzione

\tau _{2}=R_{eq2}C=10\,ms

v(t)=v(t_{0})e^{-\frac{(t-t_{0})}{\tau _{2}}}=9e^{-1-100(t-\frac{18}{1000})}=9e^{0.8-100t}

(valida per t > 18 ms)
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[10] Re: Aiuto circuito RL

Messaggioda Foto Utentesupergiox » 2 set 2010, 12:27

Perfetto! Ho provato a svolgerlo seguendo solo il suggerimento e mi sono fermato all'ultima fase perché non so capisco la teoria che sta dietro a e^{-(t-t0)/\tau2}
Ma è solo una mia curiosità, perché di fatto il risultato è giustissimo!
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