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da **DirtyDeeds** » 18 ott 2010, 21:48

Perché limitarsi alle 3 dimensioni? Bene, ecco due nuove domande: :mrgreen:

1) Determinare la resistenza equivalente, vista tra due nodi di una diagonale maggiore, di un ipercubo quadridimensionale (edit: costituito da spigoli di resistenza R).
2) Generalizzare per un n-cubo.

da **DirtyDeeds** » 19 ott 2010, 23:19

Su su, non fate i timidi

da **lucbie** » 20 ott 2010, 12:46

Io non so nemmeno cosa sia un ipercubo... :oops:

Puoi fare uno schema FidoCad?

da **DirtyDeeds** » 20 ott 2010, 22:35

lucbie ha scritto:Io non so nemmeno cosa sia un ipercubo...

Partiamo dal cubo, quello 3D (come Avatar

), e poi generalizziamo: immagina che il cubo abbia spigoli di lunghezza unitaria paralleli a un sistema di assi cartesiani e che uno dei vertici coincida con lo zero degli assi. Le coordinate $\ (x,y,z)$ dei vertici sono allora: $(0,0,0), (0,0,1), (0,1,0), (0,1,1),\ldots, (1,1,1)$ .

Gli estremi di una diagonale maggiore sono, per esempio, (0,0,0)

e

. Gli spigoli del cubo sono segmenti che connettono vertici che differiscono per al più una coordinata, p.es. (0,0,0)-(0,0,1)

o

Per descrivere una figura a 4 dimensioni, invece, ci voglio quattro coordinate (x_1,x_2,x_3,x_4)

. Le coordinate di un 4-cubo (ipercubo a 4 dimensioni) unitario con un vertice nell'origine e gli spigoli paralleli agli assi coordinati sono $(0,0,0,0), (0,0,0,1), (0,0,1,0), (0,0,1,1)\ldots (1,1,1,1)$ . Una delle diagonali maggiori ha estremi in

e

. La cosa può poi essere generalizzata a un numero di dimensioni generico. Come si può disegnare un ipercubo? Per esempio, proiettandolo su un piano (in http://en.wikipedia.org/wiki/Hypercube trovi qualche esempio).

Adesso immagina che gli spigoli dell'ipercubo siano delle resistenze: quanto vale la resistenza equivalente vista tra i vertici (0,0,0,0)

e

? Anche qui aiutati con l'esempio del cubo: i piani che contengono vertici con lo stesso numero di 1 ( $\{(0,0,1),(0,1,0),(1,0,0)\}$ e $\{(0,1,1),(1,1,0),(1,0,1)\}$ ) sono ortogonali alla diagonale maggiore: sono equipotenziali?

O_/

da **IsidoroKZ** » 21 ott 2010, 0:46

Visto che sono completamente incapace di visualizzare le cose in 3D, e tanto meno in 4D, mi sono costruito un modello di ipercubo giusto per capire di che cosa si parlava.

Sfortunatamente ci sono caduto dentro, e non vi dico la fatica boia fatta per riuscire a venirne fuori. Visto che l'esperienza non e` piacevole, ho abbandonato quella strada e l'ho distrutto. Dagli anfratti dell'ipercubo e` anche saltata fuori una cravatta non mia.

Allora ho attaccato il problema con excel per avere una lista dei vertici e degli spigoli, in modo da non contare due volte la stessa R o dimenticarne qualcuna. La soluzione si e` incasinata notevolmente e dopo un po' di fatica ho deciso che non faceva per me.

Allora ho preso una busta e sul retro ho trovato la soluzione, che vale $\frac{2}{3}\Omega$ .

Il tutto si basa sul fatto che ad ogni vertice confluiscono 4 resistenze e che ogni percorso fra un lato e l'altro della diagonale ha distanza 4.

Vado avanti a descrivere la soluzione?

Con lo stesso modo si trova che per un 5-cubo la resistenza vale $\frac{8}{15}\Omega$

da **DirtyDeeds** » 21 ott 2010, 10:02

IsidoroKZ ha scritto:Sfortunatamente ci sono caduto dentro [...]

IsidoroKZ ha scritto:ho trovato la soluzione, che vale $\frac{2}{3}\Omega$ . Il tutto si basa sul fatto che ad ogni vertice confluiscono 4 resistenze e che ogni percorso fra un lato e l'altro della diagonale ha distanza 4.

IsidoroKZ ha scritto:Vado avanti a descrivere la soluzione?

Vadi! Intanto, ecco la formula generale che ho trovato (nel weekend dovrei riuscire a scrivere la mia spiegazione)

$R_n = R\sum_{m=0}^{n-1}\frac{1}{(n-m)\dbinom{n}{m}}$

Il risultato coincide con il tuo anche per il 5-cubo. Non ho ancora capito se questa formula sia semplificabile. L'altra cosa che volevo trovare era l'andamento asintotico per n grande (mi sembra che le R_n

formino una successione decrescente che tende a 0 per n tendente a infinito: ma con che velocità? Non ho ancora avuto il tempo di studiare la cosa).

da **IsidoroKZ** » 21 ott 2010, 16:38

E` suonata la sveglia e devo alzarmi, ma l'andamento asintotico per un n-cubo quando n ->oo e` $\frac{2}{n}R$ (almeno credo)

da **DirtyDeeds** » 21 ott 2010, 17:08

Sì, sembra essere così, ma l'ho provato solo numericamente.

da **RenzoDF** » 22 ott 2010, 17:20

Direi che per un ipercubo di dimensione n, partendo da un vertice iniziale, arriviamo al vertice opposto sulla "diagonale n-dimensionale" con n passaggi, ovvero, ci saranno n+1 "livelli di vertici" che indicheremo con
m = 0 ... n ;

il numero di vertici sul "livello" m saranno

$\left( \begin{matrix} n \\ m \\ \end{matrix} \right)$

Da ognuno di questi vertici partiranno (n-m) resistori, che risulteranno se uguali in parallelo e che collegheranno questo livello m con il livello successivo m+1.

In totale quindi, ogni gruppo sarà composto da

$\left( \begin{matrix} n \\ m \\ \end{matrix} \right)(n-m)$

resistori, e basterà una sommatoria sugli n gruppi per trovare il valore finale

$R_{n}=\sum\limits_{m=0}^{n-1}{\frac{R}{\left( \begin{matrix} n \\ m \\ \end{matrix} \right)(n-m)}}$

================================================
Per esempio, per un cubo pentadimensionale n=5

$R_{n}=\sum\limits_{m=0}^{4}{\frac{R}{\left( \begin{matrix} n \\ m \\ \end{matrix} \right)(n-m)}}$

$R_{n}=\frac{R}{\left( \begin{matrix} 5 \\ 0 \\ \end{matrix} \right)\times (5-0)}+\frac{R}{\left( \begin{matrix} 5 \\ 1 \\ \end{matrix} \right)\times (5-1)}+\frac{R}{\left( \begin{matrix} 5 \\ 2 \\ \end{matrix} \right)\times (5-2)}+\frac{R}{\left( \begin{matrix} 5 \\ 3 \\ \end{matrix} \right)\times (5-3)}+\frac{R}{\left( \begin{matrix} 5 \\ 4 \\ \end{matrix} \right)\times (5-4)}$

$R_{n}=\frac{R}{5}+\frac{R}{20}+\frac{R}{30}+\frac{R}{20}+\frac{R}{5}=\frac{8}{15}R$

la dimostrazione rigorosa la lascio a voi che siete "giovani" :mrgreen:

, comunque sviluppando

$R_{n}=\sum\limits_{m=0}^{n-1}{\frac{R}{\left( \begin{matrix} n \\ m \\ \end{matrix} \right)(n-m)}=}\sum\limits_{m=0}^{n-1}{\frac{R}{\frac{n!}{m!(n-m)!}(n-m)}=}\frac{R}{n}\sum\limits_{m=0}^{n-1}{\frac{m!(n-1-m)!}{(n-1)!}=}$

ci accorgiamo che c'è una simmetria nella sommatoria che porta alla seguente relazione

$=\frac{R}{n}(1+\frac{1}{n-1}+\frac{2}{(n-1)\left( n-2 \right)}+....+\frac{2}{(n-2)\left( n-1 \right)}+\frac{1}{n-1}+1)$

dalla quale risulta evidente che al tendere di n ad infinito i termini intermedi tendono tutti a zero con "ordine di zero" via via superiore; ne segue che la somma fra parentesi tende a 2

$R_{n}=\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\sum\limits_{m=0}^{n-1}{\frac{R}{\left( \begin{matrix} n \\ m \\ \end{matrix} \right)(n-m)}=}2\frac{R}{n}$

da **lucbie** » 22 ott 2010, 18:28

RenzoDF ha scritto: $\frac{R}{5}+\frac{R}{20}+\frac{R}{30}+\frac{R}{20}+\frac{R}{5}$

Sequenza di denominatori proporzionali alla quinta riga del triangolo di Tartaglia per il fattore "numero della riga"... :roll:

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