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Esercizio campi elettrici e magnetici variabili nel tempo

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[1] Esercizio campi elettrici e magnetici variabili nel tempo

Messaggioda Foto Utentekotek » 9 giu 2011, 17:28

Salve a tutti,
non riesco a capire la soluzione del seguente problema:
"Durante il processo di carica di un condensatore ad armature circolari di raggio a=2cm si genera un campo magnetico B all'interno del condensatore stesso. Calcolare il valore di B a distanza r=0.5 cm dall'asse quando la corrente di scarica vale i=8 mA"
La soluzione è la seguente:
(2*pi*r)*B=u(0)i(r/a)^2
segue
B=[u(0)i*r]/(2*pi*a^2)=20 nT

Qualcuno mi potrebbe spiegare la soluzione ed anche a quale asse si riferisce il problema?
Grazie mille a tutti
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[2] Re: Esercizio campi elettrici e magnetici variabili nel tempo

Messaggioda Foto UtenteRenzoDF » 9 giu 2011, 22:05

kotek ha scritto:"Durante il processo di carica di un condensatore ad armature circolari di raggio a=2cm si genera un campo magnetico B all'interno del condensatore stesso. Calcolare il valore di B a distanza r=0.5 cm dall'asse quando la corrente di scarica vale i=8 mA"

Il discorso rigoroso sarebbe complesso, comunque spannometricamente parlando, all'interno del condensatore la corrente di conduzione e' sostituita da una pari corrente di spostamento I_{s} che, supponendo la costante di tempo di carica sufficientemente elevata (e per ora non ti dico rispetto a cosa :mrgreen: ), detta corrente puo' essere considerata distribuita con densita' costante sulla superficie delle due armature; di conseguenza la circuitazione di B lungo una linea di forza circolare l (non potrebbero non esserlo per la simmetria della configurazione) sara' proporzionale alla frazione di corrente di spostamento interna alla stessa I_{s}^{\prime}
, ovvero in formule

\oint\limits_{l}{B\cdot dl=\mu _{0}I_{s}^{\prime}=\mu _{0}\frac{I}{\pi a^{2}}\pi r^{2}}

2\pi rB=\mu _{0}I\frac{r^{2}}{a^{2}}\qquad\qquad[1]

ecc... ecc..

e qui sarebbe davvero interessante parlare del vettore di Poynting per vedere "la strada" percorsa dall'energia per "entrare" nel condensatore, ... se domani trovo un paio di ingegneri "in ascensore" (e ce ne sono anche qui a SB non solo a LA ... di ascensori intendo :mrgreen: ) lo chiedero' anche a loro ... statene certi (:OOO:)

kotek ha scritto:Qualcuno mi potrebbe spiegare la soluzione ed anche a quale asse si riferisce il problema?

All'unico asse presente! ... quello che passa perpendicolarmente per il centro delle armature ;-)
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[3] Re: Esercizio campi elettrici e magnetici variabili nel tempo

Messaggioda Foto UtenteRenzoDF » 10 giu 2011, 13:51

E, dato che vedo gia' qualcuno storcere il naso per la scorciatoia analitica che ho percorso, :-) ...
la prendo piu' sul difficile ripartendo dalla base, ovvero dall'equazione di Ampere-Maxwell,... che gli idraulici di solito preferiscono scrivere in forma integrale.
Trascurando gli effetti ai bordi (ecc ... ecc) ed indicando con \Phi _{E} il flusso del campo elettrico E attraverso una superficie A di bordo l, avremo

\oint\limits_{l}{B\cdot {\text{d}l}=\mu _{0}}\left( i_{c}+\varepsilon _{0}\frac{\text{d}\Phi _{E}}{\text{d}t} \right)

e quindi

2\pi rB=\mu _{0}\varepsilon _{0}\frac{\text{d}\Phi _{E}}{\text{d}t}

dove il flusso attraverso la superficie circolare di raggio r sara'

\Phi _{E}(t)=\pi r^{2}E(t)=\pi r^{2}\frac{v(t)}{h}=\frac{\pi r^{2}}{h}V_{0}(1-e^{-\frac{t}{RC}})

e di conseguenza

\frac{\text{d}\Phi _{E}}{\text{d}t}=\frac{\pi r^{2}}{h}\frac{V_{0}}{RC}e^{-\frac{t}{RC}}=\frac{\pi r^{2}}{hC}\frac{V_{0}}{R}e^{-\frac{t}{RC}}=\frac{\pi r^{2}}{hC}i(t)=\frac{\pi r^{2}}{h\frac{\varepsilon _{0}S}{h}}i(t)=\frac{r^{2}}{\varepsilon _{0}a^{2}}i(t)

che portera' infine alla relazione simbolica

B=\frac{\mu _{0}\varepsilon _{0}}{2\pi r}\frac{\text{d}\Phi _{E}}{\text{d}t}=\frac{\mu _{0}\varepsilon _{0}}{2\pi r}\frac{r^{2}}{\varepsilon _{0}a^{2}}i(t)=\frac{\mu _{0}r}{2\pi a^{2}}i(t)

che particolarizzata per il nostro problema fornira' il valore numerico richiesto

B=2\times 10^{-7}\frac{r}{a^{2}}i(t)=2\times 10^{-7}\cdot \frac{5\times 10^{-3}}{4\times 10^{-4}}\cdot 8\times 10^{-3}=20\,\text{nT}

... posto anche la geometria con FidoCadJ ... per ogni evenienza :mrgreen:

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[4] Re: Esercizio campi elettrici e magnetici variabili nel tempo

Messaggioda Foto UtenteDirtyDeeds » 10 giu 2011, 22:10

E' sempre un piacere leggere queste soluzioni, bravo Renzo! =D>
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[5] Re: Esercizio campi elettrici e magnetici variabili nel tempo

Messaggioda Foto UtenteRenzoDF » 10 giu 2011, 22:17

Grazie DirtyDeeds :D

... sono stato tutto il giorno davanti alla porta dell'ascensore ma non e' arrivato neppure un ingegnere ... che sfortuna! ... avevo una "domandina" bella e pronta ... domani provo ad andare a LA, a trovare Isidoro, lì gli ascensori sono sempre pieni di Ingegneri :mrgreen:
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[6] Re: Esercizio campi elettrici e magnetici variabili nel tempo

Messaggioda Foto Utenteadmin » 10 giu 2011, 23:06

Vedo che a kotek interessa più la domanda che la risposta.
Quindi dopo l'apprezzamento espresso da DirtyDeeds, per la risposta di RenzoDF vi aggiungo il mio. A parte la conoscenza che ci vuole per rispondere come fa, io non riesco nemmeno a capire come faccia a trovare il tempo per rispondere come risponde.
Ogni tanto mi viene il sospetto manifestato a suo tempo da Sebago, che RenzoDF sia in realtà una sigla che identifica un insieme di esperti di elettrotecnica.
-------
Cìò che mi rammarica è che a volte ci sia qualcuno che pretende di aver qualcosa da ridire, mentre dovrebbe solo leggere.
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[7] Re: Esercizio campi elettrici e magnetici variabili nel tempo

Messaggioda Foto UtenteDirtyDeeds » 10 giu 2011, 23:45

admin ha scritto:Ogni tanto mi viene il sospetto manifestato a suo tempo da Sebago, che RenzoDF sia in realtà una sigla che identifica un insieme di esperti di elettrotecnica.


Il "Bourbaki" dell'elettrotecnica :mrgreen:
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[8] Re: Esercizio campi elettrici e magnetici variabili nel tempo

Messaggioda Foto Utenteadmin » 11 giu 2011, 0:00

DirtyDeeds ha scritto:[..]
Il "Bourbaki" dell'elettrotecnica :mrgreen:

:ok: :idea:
Ottimo titolo per un nuovo articolo della "collana: Alcune risposte di:..." che lo scorso anno avevo voluto dedicare agli esperti del forum di EY ;-)
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[9] Re: Esercizio campi elettrici e magnetici variabili nel tempo

Messaggioda Foto UtenteRenzoDF » 11 giu 2011, 0:09

DirtyDeeds ha scritto: ... Il "Bourbaki" dell'elettrotecnica :mrgreen:


Quando avete finito di prendermi in giro ditemelo :D

... io ... ehm Noi, poi, le figure le usiamo e anche se stiamo ancora completando la prima "dispensa" sulla Topologia ... Elettrica ovviamente, prima o poi "sfondiamo" nel "settore"! (:OO:)
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[10] Re: Esercizio campi elettrici e magnetici variabili nel tempo

Messaggioda Foto UtenteIsidoroKZ » 11 giu 2011, 3:46

Parbleu! Chapeau! >-O-<
Per usare proficuamente un simulatore, bisogna sapere molta più elettronica di lui
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