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Circuiti in evoluzione dinamica

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[1] Circuiti in evoluzione dinamica

Messaggioda Foto UtenteGlorietta » 11 feb 2012, 21:49

Salve a tutti avrei bisogno di aun aiuto :S sto studiando principi di ingegneria eettrica eho un problema con i circuiti in evoluzione dinamica. Ho postato un esercizio (spero di averlo postato bene perché sono nuova da queste parti) che non riesco a svolgere perché per t<o è in evoluzione livera ma non mi dà le condizioni iniziali. io ho scritoo tutta l'equazione differenziale però non riesco a calcolarmi l'intensità del condensatore all'istant iniziale che mi serve per imporre la seconda condizione iniziale.
Gentilmente heeelp grazie!!! :D :D

Traccia:

Il circuito in figura è a riposo per t< 0. Determinare l'andamento nel tempo della tensione del condensatore v(t).

Dati del problema:

e(t)\ =\ \left\{\begin{matrix}
0 & t<0\\ 
E_{0} & t>0
\end{matrix}\right.

E_{0}\ =\ 1\,\mathrm{V}
\omega\ =\ 10^6\,\mathrm{rad/s}
R\ =\ 2\,\mathrm{\Omega}
L\ =\ 1\,\mathrm{\mu H}
C\ =\ 2\,\mathrm{\mu F}

Circuito:

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[2] Re: Circuiti in evoluzione dinamica

Messaggioda Foto Utenteangelsanct » 11 feb 2012, 22:12

Sai cosa significa "a riposo" e come diventano i bipoli dipendenti dal tempo condensatore e induttore?
Quale è l'equazione differenziale che hai ricavato?
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[3] Re: Circuiti in evoluzione dinamica

Messaggioda Foto UtenteRenzoDF » 11 feb 2012, 22:14

Glorietta ha scritto:... Gentilmente heeelp grazie!!! :D :D

Gentilmente FiiidoCadJ grazie !!! ;-)
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[4] Re: Circuiti in evoluzione dinamica

Messaggioda Foto Utenteasdf » 11 feb 2012, 22:21

Accodandomi al suggerimento di Foto UtenteRenzoDF, ti segnalo :
- link dove scaricare ed imparare ad utilizzare FidoCadJ;
- link ad editor per la scrittura delle espressioni matematiche con LaTeX.
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[5] Re: Circuiti in evoluzione dinamica

Messaggioda Foto UtenteGlorietta » 12 feb 2012, 11:34

Si a riposo è come dire che il generatore è spento e in tali condizioni il condensatore si comporta da circuito aperto e l'induttre da corto circuio. Ora, l'equazione a cui sono giunta è questa
d^2 v(t)/dt + 1/RC dv(t)/dt + 1/LC v(t) = 0
le condizioni iniziali sono:
-tensione del condensatore in 0
-dv(t)/dt = i(0)/C questa deriva dalla relazione caratteristica del condensatore.
Se non ho fatto errori penso che l'equazione da risolvere sia proprio questa. Ma come ho detto non riesco a trovare l'intensità del condensatore in 0 . Grazie ancora e perdonate la scrittura delle formule un po' elementare...prima o poi diventerò pratica ;)
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[6] Re: Circuiti in evoluzione dinamica

Messaggioda Foto Utenteasdf » 12 feb 2012, 11:42

Glorietta ha scritto:Grazie ancora e perdonate la scrittura delle formule un po' elementare...prima o poi diventerò pratica ;)

...lo diventerai disegnando il circuito in FidoCadJ e scrivendo le formule in LaTeX, come ti è stato suggerito ai post [3] e [4] ;-) .
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[7] Re: Circuiti in evoluzione dinamica

Messaggioda Foto Utenteangelsanct » 12 feb 2012, 18:45

Beh se il circuito è a riposo, la tensione v(t) ai capi del condensatore è uguale a 0 per t < 0, così come è nulla la sua derivata rispetto al tempo.
Queste condizioni andranno poi applicate per individuare le condizioni iniziali dell' evoluzione della dinamica del circuito per t > 0, ricordando che, come disse Aristotele, "Natura non facit saltus!":
v(0^{-})=v(0^{+}) e \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}v(0^{-})=\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}v(0^{+}).
A t > 0, applicando KCL (Principio di Kirchhoff alle correnti) al nodo cui sono collegati tutti i bipoli passivi, si giunge all'equazione:
\frac{\mathrm{d} v(t)}{\mathrm{d} t}+\frac{2}{RC}v(t)+\frac{1}{LC}\int_{0^{+}}^{t}v(t)dt=\frac{e(t)}{RC}
Ora, non ho ben capito se per t > 0 la forzante è di tipo sinusoidale (seno o coseno?) od altro :-P
Come continueresti?
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[8] Re: Circuiti in evoluzione dinamica

Messaggioda Foto UtenteLele_u_biddrazzu » 12 feb 2012, 19:04

angelsanct ha scritto:...ricordando che...\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}v(0^{-})=\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}v(0^{+})...

Foto Utenteangelsanct, non credo che per un condensatore sia valida quella condizione di continuità... :!:
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[9] Re: Circuiti in evoluzione dinamica

Messaggioda Foto Utentespud » 12 feb 2012, 19:51

Io farei in modo diverso, anche perché l'ultima equazione ricavata non saprei come risolverla, e ammesso che si risolva come calcoli la costante arbitraria introdotta dall'integrale? non con le condizioni iniziali. Il mio professore di controlli automatici diceva che integrare è diabolico ed è sempre meglio ricondursi alle derivate.

Penso che il modo migliore sia ricavare l'equazione che governa l'evoluzione del circuito in funzione della corrente sull'induttore.

RLC \frac{d^2i_L}{dt^2} + L \frac{di_L}{dt} + 2R  i_L= e(t)

risolvi l'omogenea e sommi la soluzione particolare trovata supponendo la rete in regime sinusoidale.
Una volta trovato l'integrale generale puoi usare la condizione i_L(0)=0 per trovare una delle due costanti di indeterminazione.
A questo punto derivi quanto trovato fin ora rispetto al tempo per ricavare v_C(t), applichi v_C(0)=0 per calcolare l'ultima costante di indeterminazione ed è fatta :mrgreen:
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[10] Re: Circuiti in evoluzione dinamica

Messaggioda Foto UtenteLele_u_biddrazzu » 13 feb 2012, 2:31

Per determinare la tensione ai capi del condensatore per t>0+ basta risolvere direttamente il seguente problema di Cauchy senza dover necessariamente scomodare la corrente che transita nell'induttore...

\begin{cases}
\frac{\textrm{d}^{2}v_{C}}{\textrm{d}t^{2}}+\frac{2}{RC}\,\frac{\textrm{d}v_{C}}{\textrm{d}t}+\frac{v_{C}}{LC}=0\\
\frac{\textrm{d}v_{C}}{\textrm{d}t}\Big|_{t=0^{+}}=\frac{E_{0}}{RC}\\
v_{C}\left(0^{+}\right)=0\;\textrm{V}
\end{cases}

Svolgendo i vari calcoli, si giunge al seguente risultato...

\[v_C=\frac{{\text{e}}^{-250000\,t}\,\mathrm{sin}\left( 250000\,\sqrt{7}\,t\right) }{\sqrt{7}}\]

ovvero...
vc(t).png
Andamento temporale della tensione ai capi del condensatore per t>0+.
vc(t).png (5.43 KiB) Osservato 2683 volte
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