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da **jupiter** » 26 feb 2012, 19:51

Salve a tutti,

online ho trovato sulla rotazione degli assi cartesiani le formule indicate, ma non vi sono nel tutorial i passaggi intermedi...quindi mi chiedevo come ottenere 'a mano' ciò che è riportato nella 3.

: Immagine.png (8.42 KiB) Osservato 3475 volte

grazie e buona serata

da **g.schgor** » 26 feb 2012, 20:40

Per ricavare le uguaglianze 3 dalla 2 si può procedere così:

$X=\frac{x+Ysen\Theta}{cos\Theta}=\frac{y-Ycos\Theta}{sen\Theta}$

da cui si ricava Y:

$Y=\frac{-xsen\Theta+ycos\Theta}{(sen\Theta)^2+(cos\Theta)^2}$

ma il denominatore è =1. quindi la formula corrisponde alla 3
Nello stesso modo si può procedere per ricavare X

da **dimaios** » 26 feb 2012, 23:26

jupiter ha scritto:.... ma non vi sono nel tutorial i passaggi intermedi...quindi mi chiedevo come ottenere 'a mano' ciò che è riportato nella 3 ....

In questi appunti di geometria analitica a pag. 10 trovi la dimostrazione della prima formula.

http://www.ing.unisi.it/biblio/e-notes/geometria_analitica.pdf

N.B. Leggi questa soluzione alternativa se hai affrontato gli argomenti base di algebra lineare altrimenti considera la procedura illustrata da

g.schgor nel post precedente.

Partiamo dalle prime equazioni :

$x = X \cdot cos(\theta) - Y \cdot sin(\theta)$
$y = X \cdot sin(\theta) + Y \cdot cos(\theta)$

Scriviamole in forma matriciale :

$\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} cos(\theta) & -sin(\theta)\\ sin(\theta) & cos(\theta) \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} X\\ Y \end{bmatrix}$

Siccome la matrice ha determinante unitario

$det \left ( \begin{bmatrix} cos(\theta) & -sin(\theta)\\ sin(\theta) & cos(\theta) \end{bmatrix} \right ) = cos^{2}(\theta) + sin^{2}(\theta) = 1$

Risulta invertibile per cui si ha :

$\begin{bmatrix} X\\ Y \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} cos(\theta) & -sin(\theta)\\ sin(\theta) & cos(\theta) \end{bmatrix}^{-1} \cdot \begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} cos(\theta) & sin(\theta)\\ -sin(\theta) & cos(\theta) \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}$

Ovvero :

$X = x \cdot cos(\theta) + y \cdot sin(\theta)$
$Y = -x \cdot sin(\theta) + y \cdot cos(\theta)$

Che sono le formule cercate.

da **DirtyDeeds** » 26 feb 2012, 23:33

Però leggi la mia firma ;-)

PS: c'è ancora un altro metodo per dimostrare le (3): chi lo trova? :-)

da **IsidoroKZ** » 26 feb 2012, 23:45

Io me la giocherei a pari e dispari, oppure a CW e CCW.

da **RenzoDF** » 26 feb 2012, 23:54

DirtyDeeds ha scritto:PS: c'è ancora un altro metodo per dimostrare le (3)

Che poi e' il metodo piu' "elegante".

da **dimaios** » 27 feb 2012, 0:08

Vediamo se è questa :

Moltiplico la prima equazione per $cos(\theta)$ e la seconda per $sin(\theta)$ :

$x \cdot cos(\theta) = X \cdot cos^{2}(\theta) - Y \cdot cos(\theta) \cdot sin(\theta)$
$y \cdot sin(\theta) = X \cdot sin^{2}(\theta) + Y \cdot cos(\theta) \cdot sin(\theta)$

Sommandole membro a membro si ottiene :

$x \cdot cos(\theta) + y \cdot sin(\theta) = X$

Analogamente per l'altra equazione.

da **DirtyDeeds** » 27 feb 2012, 0:19

Non è questa!

Però

dimaios la mia firma non la vuoi proprio leggere ;-)

da **dimaios** » 27 feb 2012, 0:23

Non è che non la voglio leggere .... evidentemente non riesco a leggere tra le righe .... e vedo solo spazi !!! :mrgreen:

!

da **IsidoroKZ** » 27 feb 2012, 0:29

Quando passi il cursore sopra una espressione in latex, vedi il sorgente.

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equazioni trigonometriche

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