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da **nikiT** » 24 mag 2012, 23:29

Ciao!

Apro il post con una premessa: non ho mai studiato i numeri complessi a scuola, e tutto quello che so di elettronica lo devo ai testi che mi leggo da solo. Quindi, sono consapevole di avere delle grosse lacune in merito, dunque se uso termini o modi di ragionare sbagliati (cosa molto probabile), sarò felicissimo se mi correggiate, in modo da migliorarmi.

Detto questo, vengo al mio problema. Dovrei calcolare la funzione di trasferimento di questa rete.

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

In sostanza, devo calcolarmi l'ampiezza del segnale sinusoidale ${V_{o}$ in funzione della frequenza. Immaginando il circuito come un partitore, ho scritto questa formula.

$V_{o}=V_{i}\frac{R_{2}//Z_{C}}{R_{2}//Z_{C}+R1} = V_{i}\frac{\frac{1}{\frac{1}{R_{2}}+\frac{1}{Z_{C}}}}{\frac{1}{\frac{1}{R_{2}}+\frac{1}{Z_{C}}}+R_{1}}$

E semplificando...

$V_{o}=V_{i}\frac{1}{1+\left ( \frac{1}{R_{2}}+\frac{1}{Z_{C}}\right )R_{1}}$

Fino a qui, ci sono errori?

Ora arriva la parte che mi resta più difficile, ovvero iniziare a lavorare con le unità immaginarie. Per il momento, so che $Z_{C}=\frac{1}{j\omega C}=-j \frac{1}{\omega C}$ , dunque mi verrebbe da sostituire questo termine in questo modo.

$V_{o}=V_{i}\frac{1}{1+\left ( \frac{1}{R_{2}}+\frac{1}{1/j\omega C}\right )R_{1}}=V_{i}\frac{1}{1+\left ( \frac{1}{R_{2}}+j\omega C\right )R_{1}}$

È corretto?

A questo punto, non so come proseguire per ottenere il modulo di questo vettore. So che dovrei rimuovere l'unità immaginaria, giusto? Ma come si fa?

Grazie! :-)

Ciao,
Niki

Sito web · da **admin** » 24 mag 2012, 23:39

Il modulo di un numero complesso è la radice quadrata della somma dei quadrati della parte reale e della parte immaginaria.
Il modulo di un rapporto è uguale al rapporto del modulo del numeratore e del modulo del denominatore.
Quindi
$\left| {{\dot V_0}} \right| = \frac{{\left| {{\dot V_i}} \right|}}{{\left| {1 + \frac{{{R_1}}}{{{R_2}}} + j\omega C{R_1}} \right|}} = \frac{{\left| {{\dot V_i}} \right|}}{{\sqrt {{{\left( {1 + \frac{{{R_1}}}{{{R_2}}}} \right)}^2} + {{\left( {\omega C{R_1}} \right)}^2}} }}$

da **nikiT** » 24 mag 2012, 23:51

Admin, grazie!

Mi hai chiarito ogni dubbio! :-)

Ultima domanda: il procedimento che ho seguito è corretto, oppure manca di rigore dal punto di vista matematico? Le semplificazioni sono lecite con i numeri complessi, o ci sono delle considerazioni da fare quando si semplificano equazioni complesse?

Ciao,
Niki

Sito web · da **admin** » 25 mag 2012, 0:11

Non ci sono considerazioni particolari. Ci si deve solo ricordare che ${{\rm{j}}^2} = - 1$ , quindi si opera algebricamente in modo normale, in modo simile alle espressioni con i radicali. Ad esempio moltiplicando un complesso per il suo coniugato, che ha la parte immaginaria di segno opposto, si ottiene il quadrato del modulo, quindi un reale puro. Questo è utile per "liberarsi" dai denominatori.
Molto comdo è passare dalla forma cartesiana, quella vista finora, dove parte reale ed immaginaria sono i cateti di un triangolo rettangolo, a quella polare formata dall'ipotenusa e dall'angolo opposto al cateto che corrisponde alla parte immaginaria, quando la parte reale è positiva, al supplementare se la parte reale è negativa.
Un link
http://www.electroyou.it/vis_resource.php?section=Lezio&id=144

da **nikiT** » 25 mag 2012, 11:20

admin ha scritto:Molto comdo è passare dalla forma cartesiana, quella vista finora, dove parte reale ed immaginaria sono i cateti di un triangolo rettangolo, a quella polare formata dall'ipotenusa e dall'angolo opposto al cateto che corrisponde alla parte immaginaria, quando la parte reale è positiva, al supplementare se la parte reale è negativa.

Non avevo capito cosa fossero i numeri complessi fino ad ora. Questo mi è stato davvero d'aiuto! :-)

Sto già leggendo l'articolo, credo che le mie basi di matematica dovrebbero essere sufficienti alla sua comprensione.

Grazie!

Ciao,
Niki

da **DirtyDeeds** » 25 mag 2012, 15:26

nikiT ha scritto: $V_{o}=V_{i}\frac{1}{1+\left ( \frac{1}{R_{2}}+\frac{1}{1/j\omega C}\right )R_{1}}=V_{i}\frac{1}{1+\left ( \frac{1}{R_{2}}+j\omega C\right )R_{1}}$

Conviene però andare un po' più avanti e scrivere:

$\begin{align}V_\text{o} &= V_\text{i}\frac{1}{1+\left ( \frac{1}{R_{2}}+\text{j}\omega C\right )R_{1}} \\ &= V_\text{i}\frac{R_2}{R_2+(1+\text{j}\omega C R_2)R_{1}} \\ &= V_\text{i}\frac{R_2}{R_1+R_2+\text{j}\omega C R_1 R_2} \end{align}$

da cui, raccogliendo al denominatore R_1+R_2

, si ottiene

$V_\text{o} &= V_\text{i}\frac{R_2}{R_1+R_2}\frac{1}{1+\text{j}\omega C (R_1 || R_2)}$

Secondo te, cosa rappresenta il primo fattore? E il secondo?

da **RenzoDF** » 25 mag 2012, 16:39

Come al solito provo ad applicare anche a questo caso elementare la "terapia" del Dottor Middlebrook al fine di tracciare si, un paio di schemi in più, ma di sicuro diverse equazioni in meno, ovvero, dalle tre particolarizzazioni dello schema originale

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

ottenere direttamente la relazione finale a "bassa entropia"

$A_{V}=\left. A_{V} \right|_{Z=\infty }\frac{1+\left. \frac{Z_{N}}{Z} \right|_{v0\to 0}}{1+\left. \frac{Z_{D}}{Z} \right|_{vi\to 0}}=\frac{R_{2}}{R_{1}+R_{2}}\,\,\frac{1+0}{1+j\omega C_{1}R_{1}||R_{2}}$

da **nikiT** » 26 mag 2012, 2:23

DirtyDeeds ha scritto: $V_\text{o} &= V_\text{i}\frac{R_2}{R_1+R_2}\frac{1}{1+\text{j}\omega C (R_1 || R_2)}$

Secondo te, cosa rappresenta il primo fattore? E il secondo?

Il primo termine è l'equazione del partitore vista in regime statico (si dice così?). Il secondo, non saprei: sembra la funzione di trasferimento di un filtro passa-basso del primo ordine con R=R_1 || R_2

. È corretto?

RenzoDF ha scritto:Come al solito provo ad applicare anche a questo caso elementare la "terapia" del Dottor Middlebrook

Sembra un metodo molto interessante, anche se non mi è chiaro fino in fondo (probabilmente a causa delle mie conoscenze limitate di matematica).

RenzoDF, hai qualche link da propormi o una tua spiegazione più dettagliata del procedimento, per imparare una cosa nuova? :-)

Grazie!

Ciao,
Niki

da **dimaios** » 26 mag 2012, 9:38

Penso proprio che

RenzoDF facesse riferimento a questo.

da **DirtyDeeds** » 26 mag 2012, 10:37

nikiT ha scritto:Il primo termine è l'equazione del partitore vista in regime statico (si dice così?). Il secondo, non saprei: sembra la funzione di trasferimento di un filtro passa-basso del primo ordine con R=R_1 || R_2. È corretto?

Sì, è corretto. Guarda la trasformazione riportata qui sotto:

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

Se fai il circuito equivalente di Thévenin della parte di circuito a sinistra di C1 ottieni un semplice filtro passa-basso RC, con R = R_1 || R_2

, alimentato da una tensione di ingresso

$V_\text{i}^\prime &= V_\text{i}\frac{R_2}{R_1+R_2}$

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Numeri complessi e funzioni di trasferimento

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