teorema della divergenza (analisi 2)

[silence1992]

ciao a tutti,
sto 'studiando' la divergenza di un campo vettoriale e non riesco a capire la dimostrazione del teorema della divergenza:
( ma come si scrivono qua le formule matematiche??
TEOREMA:
sia D un dominio regolare in R^3 e la sua frontiera,
sia F: D --> R^3 un campo vettoriale C^1(D)
Allora :

con versore normale alla superficie alla frontiera di D orientato verso l'esterno del dominio

DIMOSTRAZIONE:
sia

Considero



ed integro per fili
poi passo al secondo membro:
Il testo dice sia , e non ne capisco il perché.
Definisce e come le basi del parallelepipedo D che hanno normale esterna rispettivamente nei punti (0,0,1) e (0,0,-1) ... ma non spiega come li ha trovati questi punti.
e 0sserva che la superficie laterale è costituita da facce con , perché?
Dunque è banale che : ... perché?
In modo analogo procede poi per F_1e F_2 .

[DirtyDeeds]

ma come si scrivono qua le formule matematiche??

In LaTeX, come hai giustamente fatto tu, ma non racchiudere le formule tra i simboli $ $ (come faresti nel "vero" LaTeX), ma tra i tag

Codice: Seleziona tutto

[tex]...formula...[/tex]

Ti ho fatto un po' di maquillage alle equazioni, controlla che siano ancora corrette.

[silence1992]

grazie! si si le hai modificate in modo corretto !

[DirtyDeeds]

l testo dice sia , e non ne capisco il perché.

è un vettore in , e quelle sono le sue componenti.

Definisce S_1 e S_2 come le basi del parallelepipedo D che hanno normale esterna rispettivamente nei punti (0,0,1) e (0,0,-1) ... ma non spiega come li ha trovati questi punti.

Sicura che dica proprio così? (0,0,1) e (0,0,-1) potrebbero essere le componenti di per le basi e ...

e osserva che la superficie laterale è costituita da facce con , perché?

e sembrano essere le facce del parallelepipedo ortogonali all'asse z; le altre facce, quindi, sono tutte parallele all'asse z: di conseguenza, per queste facce, .

[silence1992]

Si, lo so che sono le componenti del versore... però mi chiedevo perché (v^3, v^2, v^1) elevate al quadrato, al cubo ... Ma pensandoci meglio forse il libro nonostante abbia scritto v^3 intendeva v_3
poi credo di aver capito quello che intendi al 'secondo punto' : v_e è il versore normale alla frontiera dunque coincide con la "normale esterna" .. era ovvio in effetti.

però se v^3 =0 integrale di ( F_3v^3) non dovrebbe essere zero ... so che sicuramente non è così però...

[DirtyDeeds]

Ma pensandoci meglio forse il libro nonostante abbia scritto v^3 intendeva v_3

Sì, è così. Le componenti di un vettore possono essere indicate sia con gli indici "sotto" che con gli indici "sopra". (Bisogna stare un po' attenti, però: in alcuni contesti il fatto che gli indici siano sopra o sotto non è indifferente, ma nel contesto del libro di analisi va bene in entrambi i modi). Nota, anche, che per evidenziare la differenza con l'elevamento a potenza, le coordinate sono state indicate tra parentesi tonda: .

però se integrale di non dovrebbe essere zero

no, è zero solo attraverso le superfici per cui , ma contiene anche ed per cui : per quelle due superfici vale +1 e -1, vedi (in rosso):

Definisce e come le basi del parallelepipedo che hanno normale esterna rispettivamente nei punti (0,0,1) e (0,0,-1)

[brusuein51]

c'è una bella descrizione su wikipedia, sotto il titolo "teorema della divergenza"