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sull'equazione dei telegrafisti

Circuiti, campi elettromagnetici e teoria delle linee di trasmissione e distribuzione dell’energia elettrica

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[1] sull'equazione dei telegrafisti

Messaggioda Foto Utentelillo » 5 dic 2012, 11:25


lo schema rappresenta un tratto infinitesimo di linea, facente parte di una cascata di quadripoli a \Gamma.
prendendo in considerazione il tratto infinitesimo rappresentato e considerando la retta delle ascisse come riferimento dello spazio, prendiamo come verso positivo quello che va dall'arrivo alla partenza;
vogliamo studiare l'evolversi del circuito, non più solo in funzione del tempo, come l'elettrotecnica classica insegna, ma anche in funzione dello spazio:
applicando le leggi di Kirchhoff al quadripolo possiamo scrivere:

\left\{\begin{matrix}
v(x+\mathrm{d}x,t)-v(x,t)=ri(x+\mathrm{d}x,t)\mathrm{d}x+l\frac{\partial i(x+\mathrm{d}x,t)}{\partial t}\mathrm{d}x\\ 
i(x+\mathrm{d}x,t)-i(x,t)=gv(x,t)\mathrm{d}x+c\frac{\partial v(x,t)}{\partial t}\mathrm{d}x
\end{matrix}\right.

ora qualche semplificazione:

\left\{\begin{matrix}
v(x,t)+\frac{\partial v(x,t)}{\partial x}\mathrm{d}x-v(x,t)=ri(x,t)\mathrm{d}x+r\frac{\partial i(x,t)}{\partial x}\mathrm{d}x\mathrm{d}x+l\frac{\partial }{\partial t}\left [i(x,t)\mathrm{d}x+\frac{\partial i(x,t)}{\partial x}\mathrm{d}x \mathrm{d}x \right ]\\ 
i(x,t)+\frac{\partial i(x,t)}{\partial x}\mathrm{d}x-i(x,t)=gv(x,t)\mathrm{d}x+c\frac{\partial v(x,t)}{\partial t}\mathrm{d}x
\end{matrix}\right.

trascuriamo gli infinitesimi di ordine superiore al primo, e semplifichiamo per ottenere:

\left\{\begin{matrix}
\frac{\partial v(x,t)}{\partial x}=ri(x,t)+l\frac{\partial i(x,t)}{\partial t}\\ 
\frac{\partial i(x,t)}{\partial x}=gv(x,t)+c\frac{\partial v(x,t)}{\partial t}
\end{matrix}\right.

ovvero le equazioni dei telegrafisti.
tali equazioni sono valide per qualsiasi forma d'onda in ingresso al quadripolo, con ipotesi di linearità del circuito.
in condizioni di regime sinusoidale le equazioni possono essere così riscritte:

\left\{\begin{matrix}\frac{\mathrm{d} \bar{V}}{\mathrm{d} x}=r\bar{I}+\text{j}\omega l\bar{I}=(r+\text{j}\omega l)\bar{I}\\ 
\frac{\mathrm{d} \bar{I}}{\mathrm{d} x}=g\bar{V}+\text{j}\omega c\bar{V}=(g+\text{j}\omega c)\bar{V}
\end{matrix}\right.

con:

r+\text{j}\omega l=z\;\;\;\;\;\;\;\text{impedenza longitudinale per unita}^{\prime}\, \text{di lunghezza}
g+\text{j}\omega c=y\;\;\;\;\;\;\;\text{ammettenza trasversale per unita}^{\prime}\, \text{di lunghezza}

quindi otteniamo:

\left\{\begin{matrix}
\frac{\mathrm{d} \bar{V}}{\mathrm{d} x}=z\bar{I}\;\;\;\;(1.1)\\ 
\frac{\mathrm{d} \bar{I}}{\mathrm{d} x}=y\bar{V}\;\;\;\;(1.2)
\end{matrix}\right.

deriviamo adesso la prima, ovvero la (1.1), rispetto a x:

\frac{\mathrm{d}^2 \bar{V}}{\mathrm{d} x^2}=\frac{\mathrm{d} (z\bar{I})}{\mathrm{d} x}=z\frac{\mathrm{d} \bar{I}}{\mathrm{d} x}

ma dalla (1.2) vediamo che:

\frac{\mathrm{d} \bar{I}}{\mathrm{d} x}=y\bar{V}

da cui ricaviamo:

\frac{\mathrm{d}^2 \bar{V}}{\mathrm{d} x^2}=zy\bar{V}

e procedendo analogamente con la seconda, abbiamo il nuovo sistema:

\left\{\begin{matrix}
\frac{\mathrm{d}^2 \bar{V}}{\mathrm{d} x^2}=zy\bar{I}=K^2\bar{I}\;\;\;\;(2.1)\\ 
\frac{\mathrm{d}^2 \bar{I}}{\mathrm{d} x^2}=zy\bar{V}=K^2\bar{V}\;\;\;\;(2.2)
\end{matrix}\right.

nell'ultimo sistema abbiamo introdotto la seguente quantità:

K=\sqrt{zy}=\sqrt{(r+\text{j}\omega l)(g+\text{j}\omega c)}

definita come la costante di propagazione della linea.
K è complesso e quindi può essere scritto come:

K=\alpha +\text{j}\beta

con:

\alpha:\;\;\; \text{costante di attenuazione}
\beta:\;\;\; \text{costante di fase}

\alpha causa per l'appunto l'attenuazione del modulo delle grandezze dalla partenza all'arrivo, mentre \beta lo sfasamento delle stesse all'arrivo rispetto alla partenza.

le (2.1) e (2.2) sono equazioni differenziali del second'ordine e come tali ammettono soluzioni del tipo

\left\{\begin{matrix}
\bar{V}=k_1e^{Kx}+k_2e^{-Kx}\;\;\;\;(3.1)\\ 
\bar{I}=k_3e^{Kx}+k_4e^{-Kx}\;\;\;\;(3.2)
\end{matrix}\right.

in realtà le soluzioni linearmente indipendenti sono solo due, essendo \bar{V} e \bar{I} soluzioni anche di:

\left\{\begin{matrix}
\frac{\mathrm{d} \bar{V}}{\mathrm{d} x}=z\bar{I}\;\;\;\;(1.1)\\ 
\frac{\mathrm{d} \bar{I}}{\mathrm{d} x}=y\bar{V}\;\;\;\;(1.2)
\end{matrix}\right.

sostituiamo nella (1.1) le soluzioni trovate in (3.1):

\frac{\mathrm{d} \bar{V}}{\mathrm{d} x}=\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}(k_1e^{Kx}+k_2e^{-Kx})=Kk_1e^{Kx}-Kk_2e^{-Kx}

ma dalle (1) risulta anche:

\frac{\mathrm{d} \bar{V}}{\mathrm{d} x}=z\bar{I}=z(k_3e^{Kx}+k_4e^{-Kx})=zk_3e^{Kx}+zk_4e^{-Kx}

e uguagliando i coefficienti otteniamo:

k_3=k_1\frac{K}{z}
k_4=-k_2\frac{K}{z}

e individuiamo:

\frac{K}{z}=\frac{1}{Z_0}=\frac{\sqrt{zy}}{z}=\sqrt{\frac{y}{z}}=\sqrt{\frac{g+\text{j}\omega c}{r+\text{j}\omega l}}

con Z_0 impedenza d'onda della linea.

il sistema quindi diventa:

\left\{\begin{matrix}
\bar{V}=k_1e^{Kx}+k_2e^{-Kx}\\ 
\bar{I}=\frac{1}{Z_0}(k_1e^{Kx}-k_2e^{-Kx})
\end{matrix}\right.

e per trovare le costanti k1 e k2 dobbiamo imporre le condizioni ai limiti:
risparmiandoci l'intero svolgimento giungiamo a:

\left\{\begin{matrix}
\bar{V}=\bar{V}_2\cosh (Kx)+Z_0\bar{I_2}\sinh (Kx)\\ 
\bar{I}=\frac{\bar{V}_2}{Z_0}\sinh (Kx)+\bar{I_2}\cosh (Kx)
\end{matrix}\right.

attraverso le equazioni appena scritte, noi possiamo conoscere tensione e corrente in qualsiasi punto della linea attraverso la conoscenza delle grandezze all'arrivo

le parti sottolineate sono mie affermazioni e sarei grato a chiunque me ne desse conferma.
ovviamente sono ben accette correzioni di qualsiasi tipo.
3D un po' pesante, quindi ringrazio chiunque lo legga fino alla fine.
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[2] Re: sull'equazione dei telegrafisti

Messaggioda Foto UtenteLele_u_biddrazzu » 5 dic 2012, 12:41

lillo ha scritto:...vogliamo studiare l'evolversi del circuito, non più solo in funzione del tempo, come l'elettrotecnica classica insegna, ma anche in funzione dello spazio...

Io preferirei dire che l'obbiettivo è quello di determinare la distribuzione spaziale di tensione e corrente lungo la linea in funzione del tempo; in realtà l'oggetto dello studio non è il circuito disegnato bensì la linea nel suo complesso, rappresentata mediante parametri distribuiti.

lillo ha scritto:...\alpha causa per l'appunto l'attenuazione del modulo delle grandezze dalla partenza all'arrivo, mentre \beta lo sfasamento delle stesse all'arrivo rispetto alla partenza...

Il coefficiente di attenuazione non causa l'attenuazione delle grandezze elettriche durante il processo di propagazione lungo la linea, semmai questa è una conseguenza dei fenomeni dissipativi che sono presenti, in varia misura, in tutte le linee di trasmissione; analogo discorso per il parametro \beta che non causa lo sfasamento progressivo delle grandezze elettriche lungo la linea, semmai lo descrive quantitativamente.

Per il resto, tutto sembra ok :ok:
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[3] Re: sull'equazione dei telegrafisti

Messaggioda Foto Utentejordan20 » 5 dic 2012, 13:58

Lele_u_biddrazzu ha scritto:in realtà l'oggetto dello studio non è il circuito disegnato bensì la linea nel suo complesso, rappresentata mediante parametri distribuiti.

E infatti... tutto scaturisce dal fatto che le linee di trasmissione hanno tipicamente sezione trasversale trascurabile rispetto la lunghezza d'onda \lambda ma con lunghezza longitudinale (usualmente in funzione della coordinata z) che non lo è. E allora tu sai che una rete a parametri concentrati è modellizzata come puntiforme per cui posso applicare le leggi di Kirchhoff; per continuare a fare la stessa cosa con le linee di trasmissione dove i parametri sono distribuiti, devo considerare un tratto infinitesimo tale che sia soddisfatta la condizione \Delta z << \lambda in cui le variabili di stato tensione e corrente sono funzioni della coordinata spaziale z che ne descrive la posizione sulla linea, oltre che del tempo.
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[4] Re: sull'equazione dei telegrafisti

Messaggioda Foto UtentePietroBaima » 6 dic 2012, 0:00

Volevo aggiungere solo una semplice considerazione su k.
Per le linee dispersive k definisce la profondità di penetrazione per effetto pelle.

Questo perché, in un metallo, la conducibilità è molto alta.
Vediamo come dimostrarlo.

Le equazioni di Maxwell in forma differenziale dipendenti e definite per un mezzo lineare e elettricamente dispersivo, senza sorgenti, sono:

\begin{cases}
\overrightarrow{\nabla}\times\overrightarrow{E}=-\mathrm{j}\omega\mu\overrightarrow{H}\\
\overrightarrow{\nabla}\times\overrightarrow{H}=\mathrm{j}\omega\epsilon\overrightarrow{E}+\gamma\overrightarrow{E}
\end{cases}

Applicando l'operatore rotore alla prima equazione si ottiene:

\overrightarrow{\nabla}\times\left(\overrightarrow{\nabla}\times\overrightarrow{E}\right)=-\mathrm{j}\omega\mu\left(\overrightarrow{\nabla}\times\overrightarrow{H}\right)

utilizzando ora la formula:

\overrightarrow{\nabla}\times\left(\overrightarrow{\nabla}\times\overrightarrow{A}\right)=\overrightarrow{\nabla}\left(\overrightarrow{\nabla}\cdot\overrightarrow{A}\right)-\nabla^{2}\overrightarrow{A}

e ricordando che, in assenza di sorgenti, il vettore D è solenoidale e il gradiente della divergenza si annulla.
In pratica si ha che la condizione al contorno:

\overrightarrow{\nabla}
 \cdot\overrightarrow{D}
 =\rho_{e}

in condizioni di assenza di sorgenti diventa:

\overrightarrow{\nabla}\cdot\overrightarrow{D}=0

e quindi:

\epsilon\overrightarrow{\nabla}\cdot\overrightarrow{E}=0

da cui l'annullamento.

Si ha quindi che:

-\nabla^{2}\overrightarrow{E}=-\mathrm{j}\omega\mu\left(\overrightarrow{\nabla}\times\overrightarrow{H}\right)

Ora è possibile sostituire la seconda equazione di Maxwell nella prima, ottenendo:

-\nabla^{2}\overrightarrow{E}=-\mathrm{j}\omega\mu
 \left(\mathrm{j}\omega\epsilon\overrightarrow{E}+\gamma\overrightarrow{E}\right)

cioè:
\nabla^{2}\overrightarrow{E}+\omega^{2}\epsilon\mu
 \overrightarrow{E}-\mathrm{j}\gamma\omega\mu\overrightarrow{E}=0

adesso possiamo utilizzare una trasformata vettoriale spaziale.

Nelle trasformate "normali", cioè di Fourier nel tempo si ha che:

{\displaystyle \frac{\partial}{\partial t}\longrightarrow\mathrm{j}\omega}

mentre nelle trasformate per lo spazio si deve lavorare con i vettori, poiché le dimensioni sono tre (almeno in prima approssimazione). Si ha che:

\overrightarrow{\nabla}
 \longrightarrow\mathrm{j\overrightarrow{k}}

quindi l'operatore di Laplace diventa:

\nabla^{2}
 =\overrightarrow{\nabla}
 \cdot
 \overrightarrow{\nabla^{T}}\longrightarrow
 \mathrm{j\overrightarrow{k}\cdot j\overrightarrow{k^{T}}}=-\left|\overrightarrow{k}\right|^{2}

per comodità indichiamo \left|\overrightarrow{k}\right|=k

Si ottiene quindi:

-k^{2}\overrightarrow{E}+\omega^{2}\epsilon\mu
 \overrightarrow{E}-\mathrm{j}\gamma\omega\mu\overrightarrow{E}=0

poiché non ci interessano soluzioni a campo nullo, dobbiamo imporre l'annullamento dei coefficienti, da cui l'equazione scalare:

-k^{2}+\omega^{2}\mu\epsilon
 (1
 -\mathrm{j}{\textstyle \frac{{\textstyle \gamma}}{\omega\epsilon}})=0

o ancora:

k={\displaystyle \pm\omega\sqrt{\mu\epsilon}\sqrt{1-\mathrm{j}{\textstyle \frac{{\textstyle \gamma}}{\omega\epsilon}}}}

la radice è della forma:

\sqrt{1-\mathrm{j}\xi}

con \xi>0 , poiché \xi=\frac{{\textstyle \gamma}}{\omega\epsilon}

Esplicitando parte reale e parte immaginaria della radice si ottiene:

\sqrt{1-\mathrm{j}\xi}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\sqrt{\sqrt{1+\xi^{2}}+1}-\mathrm{j}\sqrt{\sqrt{1+\xi^{2}}-1}\right]

C'era il segno sbagliato davanti a j. Ora e` corretto

Possiamo ora fare questa considerazione. In un metallo, la cui conducibilità è molto alta, si ha che:

\xi>>1

e quindi si ha che:

\sqrt{\sqrt{1+\xi^{2}}+1}\simeq\sqrt{\xi}

e che:

\sqrt{\sqrt{1+\xi^{2}}-1}\simeq\sqrt{\xi}

In definitiva si ha che:

\sqrt{1-\mathrm{j}\xi}=\sqrt{\frac{\xi}{2}}
 \left(1-\mathrm{j}\right)

Sostituendo il tutto nella formula per il k si ha che:

k\simeq{\displaystyle \pm\omega\sqrt{\mu\epsilon}\sqrt{\frac{{\textstyle \gamma}}{2\omega\epsilon}}}\left(1-\mathrm{j}\right)={\displaystyle \pm\sqrt{\frac{\mu{\textstyle \gamma\omega}}{2}}}\left(1-\mathrm{j}\right)

Si riconosce quindi che la formula per il k è del tipo:

k\simeq{\displaystyle \pm\frac{1}{\delta}}\left(1-\mathrm{j}\right)

dove

\delta={\displaystyle \sqrt{\frac{2}{\mu\gamma\omega}}}

è la profondità di penetrazione per effetto pelle.

Resta da discriminare correttamente il segno di k.
E' sufficiente considerare l'onda progressiva nella linea di trasmissione:

V_{o}^{+}e^{-\mathrm{j}kx}=V_{o}^{+}e^{-\mathrm{j}({\displaystyle \pm\frac{1}{\delta}}\left(1-\mathrm{j}\right))x}=V_{o}^{+}e^{-\mathrm{j}({\displaystyle \pm\frac{x}{\delta})}}e^{-({\displaystyle \pm\frac{x}{\delta})}}

Per comprendere che la soluzione corretta debba essere quella con il + poiché l'attenuazione complessiva dell'onda progressiva deve aumentare con la coordinata x e non diminuire.

Ciao da Pietro.
O_/
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[5] Re: sull'equazione dei telegrafisti

Messaggioda Foto Utentejordan20 » 6 dic 2012, 0:04

Ecco Pietro... una delle domande del tremendo orale di Campi Elettromagnetici che mi fu candidamente formulata dal mio docente :mrgreen:
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[6] Re: sull'equazione dei telegrafisti

Messaggioda Foto UtentePietroBaima » 6 dic 2012, 1:19

jordan20 ha scritto:candidamente formulata


Ho sempre avuto paura delle domande formulate candidamente e, spesso, con superficialità, come se non fosse una cosa premeditata e studiata a tavolino, ma una cosa nata per caso e sul momento, forse appena introduttiva... O:) O:) °#^
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[7] Re: sull'equazione dei telegrafisti

Messaggioda Foto Utentejordan20 » 6 dic 2012, 10:01

PietroBaima ha scritto:forse appena introduttiva...

Si introduttiva, me la voleva introdurre... la domanda :!: :mrgreen:
L'ho fregato lo stesso però :-P
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[8] Re: sull'equazione dei telegrafisti

Messaggioda Foto Utentelillo » 6 dic 2012, 10:14

Foto UtenteLele_u_biddrazzu ha scritto:Io preferirei dire che l'obbiettivo è quello di determinare la distribuzione spaziale di tensione e corrente lungo la linea in funzione del tempo; in realtà l'oggetto dello studio non è il circuito disegnato bensì la linea nel suo complesso, rappresentata mediante parametri distribuiti.

perfetto. ora la preferisco anche io così :-)
Lele_u_biddrazzu ha scritto:Il coefficiente di attenuazione non causa l'attenuazione...
analogo discorso per il parametro che non causa...

infatti, prima mi sono espresso malissimo.
i due coefficienti non sono la causa dello sfasamento e dell'attenuazione, ma sono i parametri che le descrivono.
Lele_u_biddrazzu ha scritto:Per il resto, tutto sembra ok

grazie :D
Foto Utentejordan20 ha scritto:...per cui posso applicare le leggi di Kirchhoff; per continuare a fare la stessa cosa con le linee di trasmissione dove i parametri sono distribuiti, devo considerare un tratto infinitesimo tale che sia soddisfatta la condizione \Delta z << \lambda in cui le variabili di stato tensione e corrente sono funzioni della coordinata spaziale z che ne descrive la posizione sulla linea, oltre che del tempo.

giustissimo.
@ Foto UtentePietroBaima
stupefacente, mi chiedo sempre se persone del vostro calibro abbiano appreso tanto sapere tra i banchi.
ma non credo, menti così elastiche non avrebbero spazio...tra i banchi
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[9] Re: sull'equazione dei telegrafisti

Messaggioda Foto UtentePietroBaima » 6 dic 2012, 11:55

jordan20 ha scritto:L'ho fregato lo stesso però :-P


:ok:
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[10] Re: sull'equazione dei telegrafisti

Messaggioda Foto UtentePietroBaima » 6 dic 2012, 12:00

lillo ha scritto:@ Foto UtentePietroBaima
stupefacente, mi chiedo sempre se persone del vostro calibro abbiano appreso tanto sapere tra i banchi.
ma non credo, menti così elastiche non avrebbero spazio...tra i banchi


esagerato! Grazie per i complimenti, comunque sei troppo generoso con me. Voi dovete bastonare i miei errori, mica farmi i complimenti... Vorrete mica che mi monti la testa, no? :mrgreen: :mrgreen: :mrgreen:
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