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da **silence1992** » 10 dic 2012, 19:58

un corpo puntiforme si trova in una regione di spazio in cui è sottoposto ad una forza conservativa $F(r)=\frac{-k_1}{r^2}+\frac{k_2}{r^3}u_r$
dove u_r è il versore radiale uscente da O e r è la distanza dall'origine della forza.
Determinare:
1-il luogo geometrico dei punti di equilibrio
2-l'energia meccanica del punto quando si trova fermo in un punto di equilibrio
3-minimo lavoro necessario per spostare il corpo da un punto di equilibrio all'infinito

Io ho 'provato' così:

1-
CNES affinchè vi sia l'equilibrio è che F_(risultante)=0 => F(r)=0
dunque $r=\frac{k_2}{k_1}$
e poi, secondo me, f=0 anche quando r->oo (soluzione non contempata però dal testo)
però come faccio a trovare il luogo dei punti? il libro dice che è una circonferenza.... boh

2- $E_{mecc}=U+K$ e $F=\frac{dU}{ds}$
all'equilibrio k=0, quindi dovrei integrare F però mi viene zero....

Lo so che l'esercizio non è particolarmente complesso, però non riesco a trovare la strada giusta per risolverlo....

da **DirtyDeeds** » 10 dic 2012, 21:32

silence1992 ha scritto:un corpo puntiforme si trova in una regione di spazio in cui è sottoposto ad una forza conservativa

La forza è un vettore, quindi meglio scrivere

$\boldsymbol{F}(r)=\left(\frac{-k_1}{r^2}+\frac{k_2}{r^3}\right)\boldsymbol{u}_r$

dove -importante!- $r = |\boldsymbol{r}|$ : se il problema fa riferimento a un moto piano (è così?), allora $r = \sqrt{x^2+y^2}$ .

1) Imponendo $\boldsymbol{F}(r) = 0$ , si ottiene la soluzione che hai trovato tu:

$r=\frac{k_2}{k_1}$

Questa soluzione non rappresenta un punto, ma un insieme di punti, tutti quelli che distano k_2/k_1

(una costante) dall'origine. Una circonferenza, quindi. Se vuoi rappresentare tale insieme in coordinate cartesiane, da

$r=\frac{k_2}{k_1}$

ottieni

$r^2=\frac{k_2^2}{k_1^2}$

da cui

$x^2 + y^2=\frac{k_2^2}{k_1^2}$

Il punto all'infinito non si conta perché non è un punto di $\mathbb{R}^2$ .

2) Tutte le forze centrali sono conservative, ovvero si possono derivare da un potenziale, $\boldsymbol{F} = -\boldsymbol{\nabla} U$ .

Se $\boldsymbol{F} = f(r)\boldsymbol{u}_r$ , ponendo lo zero del potenziale all'infinito si ha

$U(r) = -\int_\infty^r f(r^\prime)\mathrm{d} r^\prime$

Nel tuo caso si ha

$f(r) = \frac{-k_1}{r^2}+\frac{k_2}{r^3}$

da cui

$U(r) = \frac{-k_1}{r}+\frac{k_2}{2r^2}$

In un punto di equilibrio r = k_2/k_1