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da **904** » 3 gen 2013, 17:10

Salve non riesco a capire come studiare la seguente serie numerica è a termini qualsiasi da quello che ho capito sulla traccia d'esame c'è scritto che è una serie numerica ma a me sembra una una serie di funzioni!
$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos (n\alpha\pi)} {x^2+n^2}$ con $x,\alpha \ in \ \mathbb{R}$
se faccio il limite per n che tende all'infinito esce 0 perché quello al numeratore è un infinito di grado inferiore a quello del numeratore

da **dimaios** » 5 gen 2013, 19:18

Il testo del problema non è completo.
Quale è la domanda ? Devi studiare la convergenza puntuale e uniforme della serie di funzioni ?

Prova ad utilizzare il criterio di Weierstrass per la convergenza totale.

da **904** » 6 gen 2013, 15:41

questa non è una serie di funzione è un esercizio uscito all'esame anche io avevo pensato come te quando feci l'esame che non era chiaro il testo ma il prof mi spiegò che non era una serie di funzioni ma una serie numerica dice comunque studiare la convergenza e calcolare la somma se possibile. A quell'esame fui bocciato infatti questa è la 4 volta che lo faccio

da **dimaios** » 6 gen 2013, 15:50

904 ha scritto:questa non è una serie di funzione

Link.

da **904** » 6 gen 2013, 15:53

Guarda capisco le tue perplessità infatti come ti ho detto io lo chiesi al prof ecco questa è la traccia :
Immagine

da **dimaios** » 6 gen 2013, 18:53

Anche se il professore ha ragione visto il testo del problema devo dire che ha impiegato una notazione veramente ambigua.
Infatti, in genere la

indica la variabile indipendente della serie di funzioni mentre $\alpha$ indica un parametro fissato a priori.

Quello che intende il professore a mio avviso andava scritto con maggior chiarezza in questo modo :

$\begin{matrix} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos (n\alpha\pi)} {\beta^2+n^2} & \alpha,\beta \in \mathbb{R} \end{matrix}$

Dove $\alpha,\beta$ sono due numeri reali arbitrari scelti a priori.

da **elektorplus** » 6 gen 2013, 18:58

904 ha scritto:...se faccio il limite per n che tende all'infinito esce 0 perché quello al numeratore è un infinito di grado inferiore a quello del numeratore

Non puoi applicare il limite "all'infinito" con una funzione periodica.

da **dimaios** » 6 gen 2013, 19:00

elektorplus, sicuro che non si può fare ? Il numeratore della serie è limitato essendo la funzione coseno mentre il denominatore tende ad infinito .... quindi ...... ;-)