ElectroYou - la comunità dei professionisti del mondo elettrico

da **neg** » 2 feb 2013, 13:41

scusate ragazzi vorrei sapere se qualcuno di voi può dirmi se il mio ragionamento è giusto in merito a questo esercizio:

Si calcoli, senza usare il teorema dei residui, l'integrale:

$\oint \frac{\cosh z}{(z-\pi i)^7}dz$

su una curva $\gamma$ di Jordan il cui sostegno è:

$\left \{ z\in \mathbb{C}\ t.c. \left | z-\frac{\pi }{2}i \right |= \pi \right \}$

Io ho ragionato così: dato che la funzione $f(z)=\frac{\cosh z}{(z-\pi i)^7}$ ha una singolarità, e più precisamente un polo di ordine 7 in $\pi i$ , che si trova all'esterno della curva $\gamma$ , allora la f(z) è analitica nella regione di C interna a $\gamma$ . Quindi per il teorema di Cauchy per integrali su cammini chiusi, si può affermare che l'integrale è nullo. E' giusto?

da **PietroBaima** » 2 feb 2013, 15:26

Direi di sì, ma hai provato comunque a confrontare il risultato con il teorema dei residui? ;-)

da **neg** » 2 feb 2013, 16:15

ok no.. ho sbagliato! perché la curva $\gamma$ la racchiude eccome la singolarità.. #-o

è infatti una circonferenza centrata in $\frac{\pi i}{2}$ e di raggio $\pi$ , quindi il polo è dentro. Io erroneamente l'avevo centrata in $-\frac{\pi i}{2}$ ... Ok allora non so come fare. Qualcuno saprebbe aiutarmi?

da **DirtyDeeds** » 2 feb 2013, 16:26

Per esempio ponendo

$z = \frac{\pi}{2}\text{i}+\pi\text{e}^{\text{i} t}$

con $t\in [0,2\pi)$ .

da **neg** » 2 feb 2013, 16:29

parametrizzando la curva quindi.. ci avevo provato ma venivano conti abbastanza strani. ora ci riprovo magari ho sbagliato qualcosa e faccio sapere :ok:

da **neg** » 2 feb 2013, 17:08

bah non viene affatto semplice.. escono fuori esponenziali di esponenziali, e comunque c'è quella potenza settima al denominatore; il tutto poi va integrato. Secondo me ci deve essere qualche altra strada che rende i conti più facili.

da **DirtyDeeds** » 2 feb 2013, 17:37

Direi che ti conviene usare la formula integrale di Cauchy e quella per le sue derivate ;-)

da **neg** » 2 feb 2013, 17:56

e come?

da **DirtyDeeds** » 2 feb 2013, 18:16

La funzione cosh è una funzione intera. Per ogni punto z_0

appartenente all'interno di $\gamma$ si ha

$\cosh z_0 = \frac{1}{2\pi\text{i}}\oint \frac{\cosh z}{z-z_0}\,\text{d}z$

Inoltre,

$\frac{\text{d}^6}{\text{d}z^6}(\cosh z)\bigg|_{z_0} = \frac{6!}{2\pi\text{i}}\oint \frac{\cosh z}{(z-z_0)^7}\,\text{d}z$

da cui

$\oint \frac{\cosh z}{(z-z_0)^7}\,\text{d}z = \frac{2\pi\text{i}}{6!}\frac{\text{d}^6}{\text{d}z^6}(\cosh z)\bigg|_{z_0}$

Nel tuo caso $z_0=\pi\text{i}$ .

da **dimaios** » 2 feb 2013, 18:21

Strano che su Matematicamente non abbiano risposto al tuo quesito.

Bastava tu cercassi nel medesimo sito la risposta e saresti per esempio finito in questo thread.

Come vedi

DirtyDeeds ha fatto centro! :mrgreen:

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