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da **904** » 21 mar 2013, 17:53

Salve a tutti non riesco a capire come procedere col seguente esercizio :
Sviluppare in serie di Laurent , nella regione |z-i|>2

, la funzione $f(z)=\frac {1}{z^2+1}$ .
Allora io ho pensato in questo modo ho posto u= z-i

ho sviluppato in fratti semplici e ho sostituito tentando di risolvere il tutto come una serie geometrica , ma non si trova col risultato come posso fare? vi metto dopo aver fatto la sostituzione cosa esce :

$\frac{-\frac{1}{2}i}{u} + \frac{\frac{1}{2}i}{u+2i}$

grazie

da **dimaios** » 22 mar 2013, 0:18

Una strada per risolvere l'esercizio potrebbe essere questa ....

$f(z) = \frac{1}{z^2 + 1} =\frac{1}{(z-i)(z+i)}$

Ma risulta che :

$\frac{1}{(z-i)\cdot (z+i)} = \frac{1}{z-i}\cdot\frac{1} {2i + (z -i)}= -\frac{1}{z-i}\cdot\frac{i} {2}\cdot\frac{1}{1-\frac{i}{2}\cdot(z - i)}$

Ma l'ultimo termine è una serie geometrica di ragione $\frac{i}{2}\cdot(z - i)$ per cui scrivibile come :

$\frac{1}{1-\frac{i}{2}\cdot(z - i)}=1+\frac{i}{2}\cdot(z - i)+\left[\frac{i}{2}\cdot(z - i)\right]^2+\left[\frac{i}{2}\cdot(z - i)\right]^3+...$

A questo punto sostituisci questa espressione nella precedente ed ottieni :

$f(z) =-\left(\frac{i}{2}\right)\cdot\frac{1}{z-i}-\left(\frac{i}{2}\right)^2-\left(\frac{i}{2}\right)^3\cdot(z-i)-\left(\frac{i}{2}\right)^4\cdot(z-i)^2- ... = \sum_{n=-\infty}^{\infty} a_n ( z - z_{0} )^n$

da **904** » 23 mar 2013, 11:36

grazie mille

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