Traccia grafico I(t)

[ellosma]

Sto svolgendo alcune prove di elettrotecnica e alla fine di ognuna ho un problema nel disegnare un grafico.. Mi viene dato un circuito , rtl ( o rt o rl )con interruttori e i vari dati numerici del generatore , induttanze condensatori e resistenze. Devo trovare I(t) e svolgo dunque l'analisi del tempo del circuito. Fino qui non ho problemi ma poi mi viene chiesto di disegnare qualitativamente la curva di I(t).. Sinceramente non ho idea di come fare qualcuno potrebbe illuminarmi? Grazie mille!

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Per esempio , se come risultato finale mi risultasse che

come posso tracciare questo grafico ???

[DirtyDeeds]

ellosma, che è 'sto lenzuolo?! Ridimensionalo a dimensioni decenti...

come posso tracciare questo grafico ?

Ah, l'analisi e gli studi di funzione...

[ellosma]

Posso ridimensionare l'immagine con L'ipad?? In teoria gli studi di di funzione li so fare, ma non capisco le ascisse e le ordinate che questo grafico deve avere... Lo so che è imbarazzante ma sono in panico

[gotthard]

Ciao ellosma!

Anche io ti consiglio di studiarti la funzione come ti è stato insegnato ad Analisi 1

Comunque, ho provato a inserire la funzione in Wolfram, ma purtroppo il grafico è troppo zoommato, e non si riesce a vedere bene l' andamento della funzione: eccola; però dagli altri dati si può intuire il suo andamento...

La funzione da te postata è del tipo:



Prima è bene che tu sappia l' andamento di due funzioni notevoli:

y_1=e^(-x), da cui viene di conseguenza:

y_2=-e^(-x)

La funzione da te postata, "parte" dal terzo quadrante, e ha un andamento del tipo di y_2 fino a quando raggiunge il suo massimo
(wofram dice che lo si ha a circa , ed esso vale circa: ).

Prima di raggiugere il massimo la funzione passa dal terzo quadrante al secondo, intersecando l' asse

delle ascisse, all' incirca, nel valore .

Dopo il massimo, la funzione prosegue, verso valori crecenti dell' ascissa, in maniera decrescente, intersecando l'asse delle ordinate in .

Successivamente prosegue senza mai intersecare l' asse delle ascisse, e quindi ha un asintoto orizzontale.

Ps: Ora vorrei fare una domanda a chi è più esperto di me...si poteva intuire l' andamento qualitativo della funzione, magari facendo caso al fatto che la che moltiplica la x all' esponente è parecchio maggiore del coefficiente che moltiplica l' altro esponente ?

[gotthard]

E comunque sia..

all' aumentare il valore di , l' intersezione della funzione con l'asse delle ascisse si "sposterà" sempre più verso destra (e farà così anche il massimo), questo perché il comportamento del termine con esponenziale , dove , è prevalente, rispetto all' altro termine , nel comportamento generale della funzione .

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Provo a darmi una spiegazione alla domanda che ho posto nel post sopra...

Provo a vedere come si comporta funzione per valori di x negativi e positivi.

Per :

es: x=-2

Si ha: ,

da cui deduco che la funzione, per x negativi, è crescente, e, calcolando i valori di , per valori di via via crescenti, si vede che la funzione "all' inizio" si trova nel terzo quadrante e poi "va" nel secondo;

si può capire che la funzione "parte" dal terzo quadrante anche osservando che per valori di x molto negativi il termine preponderante è (visto che il coefficiente all' esponente è molto più alto dell' altro), e siccome il termine ha un segno "" davanti, i valori di con valori di ascissa molto negativi avranno valore minore di zero (per cui si trovano nel terzo quadrante).

Per :

i due esponenziali valgono 1, per cui

Per :

es: x=+2

Si ha: ,

da cui deduco che per x>0 la funzione è decrescente, e che quindi, nel passaggio dall' andamento "crescente" a quello "decrescente" debba avere un punto di massimo, che trovo ponendo la derivata uguale a 0.

Potrei aver scritto parecchie cavolate vista l'ora...correggetemi se fosse il caso

[gotthard]

...un punto di massimo, che trovo ponendo la derivata uguale a 0.

E' possibile stabilire in maniera qualitativa, quasi mentalmente, se questo massimo si trovi in corrispondenza di un' ascissa di valore positivo o negativo.

Basta essere un po' bravi nel calcolo a mente, e la valutazione della x in maniera qualitativa si svolge in pochi minuti..

Quindi, usando il "solito" metodo:

Data:



Si ha:









Siccome , si ha che , dove , quindi:



Applicando il logaritmo naturale:



Facendo un rapido calcolo:

, per cui il valore dell' ascissa , corrispondente al punto di massimo, è negativa.

[g.schgor]

Ma perché tante complicazioni?
Prova ad usare Mathcad Express
(se vuoi pubblico il grafico)

[DirtyDeeds]

Ma perché tante complicazioni?

Perché quello è un tema d'esame, dove molto probabilmente non si può usare nessun software

[g.schgor]

OK, ma a parte l'esame, occorrerebbe anche acquisire
metodi di soluzione professionalmente più validi.

[carloc]

Mah, certo mi sembra che l'hai "presa larga" gotthard , in fondo chiede un grafico qualitativo senza troppi valori.... ah BTW direi che anche se ellosma non lo ha specificato direi che possiamo senza dubbio restringere il nostro studio a t>0.

Lo si capisce dal testo del problema oltre dal fatto che 'sti valori che divergono per t<0 non vanno troppo d'accordo con i circuiti "veri" (anche se ci potrebbero essere eccezioni).

Supponiamo poi di essere come dice DirtyDeeds all'esame e quindi di non aver disponibili programmi e/o internet, direi che comunque la cosa è abbastanza semplice e soprattutto credo che sarà invariabilmente molto simile a se stessa al variare del testo d'esame.

Hai la somma di due esponenziali decrescenti, direi che come è fatto un esponenziale a questo punto sia noto

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i) in t=0 vale y=A
ii) per t→∞ tende a zero y→0
iii) dopo circa 5 costanti di tempo si può considerare praticamente a regime

[edit=Thanks RDF"]
iv) se continuasse a scendere linearmente lungo la tangente al grafico in t=0 arriverebbe a zero in una costante di tempo, 1/a secondi

Con queste informazioni base non è difficile tracciare manualmente un grafico abbastanza ben fatto.
[/edit]

Ora noi abbiamo la somma di due di questi esponenziali

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Notiamo che:

i) A è negativo (mettiamo il grafico sotto l'asse delle ascisse) in t=0 abbiamo detto che y=A, allora possiamo segnare un punto noto.

ii) Facciamo la stessa cosa con B, stavolta è positivo e va "sopra" inoltre notiamo che in modulo è molto più grande (circa dieci volte) di A. Quindi lo segnamo cercando di rispettare almeno approssimativamente i rapporti di ampiezza.

iii) vediamo ora i coefficienti degli esponenziali, notiamo che a è circa sei volte più grande di b, questo significa che l'esponenziale in a sarà circa "sei volte più rapido" dell'altro estinguendosi prima, circa in un sesto del tempo dell'altro.
Disegnamo i due esponenziali cercando di rispettare almeno approssimativamente questo rapporto.

Ora non ci resta che sommare i due grafici, nel farlo notiamo che

i) in t=0 si avrà ovviamente i(t)=A+B

ii) dopo circa 5/a secondi l'esponenziale "blu" sarà praticamente estinto e la somma praticamente coinciderà con quello rosso.

iii) dopo circa 5/b secondi anche l'esponenziale "rosso" sarà estinto e i(t)~0

iv) per decidere se abbiamo un massimo locale per un qualche t>0 oppure se invece la nostra i(t) è monotona per t>0 basta fare la derivata in t=0.

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Dato che i(t) è continua e comunque da un certo t in poi decresce allora se di/dt(0)>0 ci deve essere un massimo.

In questo caso, come tra l'altro aveva già trovato gotthard



quindi rientriamo nel caso monotono ed il grafico richiesto potrebbe essere qualcosa del genere

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