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Curiosità insieme Q

Analisi, geometria, algebra, topologia...

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[1] Curiosità insieme Q

Messaggioda Foto UtenteIanero » 16 ott 2013, 13:06

Leggendo il teorema:
Sia X un insieme di numeri reali non vuoto limitato superiormente, allora X è dotato di estremo superiore.


È specificato che questo teorema vale solo per i numeri reali.
Mi sono chiesto: per quale motivo non dovrebbe valere anche per i razionali?
Se esiste comunque un insieme di maggioranti Y di X, può al massimo capitare che l'estremo superiore reale sia minore rispetto al minimo maggiorante razionale, ma questo non ne pregiudica comunque l'esistenza, come invece dice il teorema.
Mi sbaglio?
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[2] Re: Curiosità insieme Q

Messaggioda Foto Utente6367 » 16 ott 2013, 13:17

Mi sono chiesto: per quale motivo non dovrebbe valere anche per i razionali?


E' sufficiente trovare un contro esempio.
Prendi l'insieme costituito da tutti i razionali il cui quadrato è minore di 2.
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[3] Re: Curiosità insieme Q

Messaggioda Foto UtenteDirtyDeeds » 16 ott 2013, 13:36

Il teorema in oggetto è, in realtà, una delle tante possibili caratterizzazioni equivalenti della completezza del sistema dei numeri reali. Come tale, può anche venire anche assunto come assioma. Foto UtenteIanero, come l'avete caratterizzata la completezza dei reali?
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[4] Re: Curiosità insieme Q

Messaggioda Foto UtenteIanero » 16 ott 2013, 13:56

Che dati due numeri reali a e b, esiste sempre un numero reale c tale che:
a \leq c \leq b
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[5] Re: Curiosità insieme Q

Messaggioda Foto UtenteDirtyDeeds » 16 ott 2013, 14:02

Bene, quell'assioma può essere sostituito in modo equivalente dalla proprietà che hai dato in [1] o da altre caratterizzazioni equivalenti come il teorema di Bolzano-Weierstrass o come quella sulle succesioni di Cauchy.
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[6] Re: Curiosità insieme Q

Messaggioda Foto UtenteIanero » 16 ott 2013, 14:29

Quindi la domanda equivalente alla 1 secondo quanto detto sarebbe, perché nel campo razionale non vale l'assioma di completezza?
E la risposta sarebbe semplicemente, perché non sono presenti alcuni numeri ordinabili, gli irrazionali.
È giusto?
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[7] Re: Curiosità insieme Q

Messaggioda Foto UtenteDR1 » 16 ott 2013, 14:44

Se un insieme è limitato superiormente, automaticamente ha un estremo superiore.
Questo vale per qualsiasi insieme.
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[8] Re: Curiosità insieme Q

Messaggioda Foto UtenteDirtyDeeds » 16 ott 2013, 14:47

Ianero ha scritto:E la risposta sarebbe semplicemente, perché non sono presenti alcuni numeri ordinabili, gli irrazionali.


Più o meno. L'ordinabilità non è poi così importante, l'insieme \mathbb{Q} non sarebbe comunque completo come spazio metrico.

DR1 ha scritto:Se un insieme è limitato superiormente, automaticamente ha un estremo superiore.
Questo vale per qualsiasi insieme.


NO! Foto UtenteDR1, cerca di evitare di dare informazioni così palesemente sbagliate.
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[9] Re: Curiosità insieme Q

Messaggioda Foto UtenteDR1 » 16 ott 2013, 14:57

qual è la definizione di estremo superiore ?
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[10] Re: Curiosità insieme Q

Messaggioda Foto UtenteDirtyDeeds » 16 ott 2013, 15:02

DR1 ha scritto:qual è la definizione di estremo superiore ?


Eccola

Quello che ti sfugge è che l'estremo superiore deve fare parte dell'insieme che si considera. In \mathbb{Q}, non tutti gli insiemi limitati superiormente hanno estremo superiore, vedi il controesempio dato da Foto Utente6367.
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