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da **Ianero** » 9 nov 2013, 11:19

Buongiorno a tutti,
ho una domandina (spero non troppo pesante) sul criterio di Leibniz per la convergenza delle serie a termini alternati, in particolare la sua dimostrazione.
Ho per ipotesi che:
$\sum_{n=0}^{\infty }(-1)^na_n$
$a_n\geq 0\forall n$
La successione ${ a_n }$ è decrescente
$a_n\rightarrow 0$ per $n \rightarrow \infty$

Quindi inizio dicendo che:

$s_{2n} \geq s_{2n}-a_{2n+1}+a_{2n+2}=s_{2n+2}$
Ovvero:
$s_0 \geq s_2 \geq s_4 \geq ... \geq s_{2n} \geq ...$
$s_1 \leq s_3 \leq s_5 \leq ... \leq s_{2n+1} \leq ...$

Pertanto la ridotta ad indici pari (decrescente) ha per estremo superiore s_0

, e la ridotta ad indici dispari (crescente) ha per estremo inferiore s_1

.

Infine posso dire anche che:
$s_{2n+1}=s_{2n}-a_{2n+1} \leq s_{2n}$
Ogni elemento della successione dispari è minore della pari.

Da qui non ho capito come proseguire, qualcuno potrebbe dedicarmi 5 minuti?
Grazie in anticipo.

da **mavesla** » 20 nov 2013, 17:55

Ciao! Siccome devo ancora imparare bene a scrivere formule e formule nei post, ti rimando a questo articolo di

IsidoroKZ: nella sezione matematica/analisi la prima parte degli appunti consigliati (Analisi 1), a pagina 160, dovrebbe contenere proprio la risposta che cercavi!! :-)

da **Ianero** » 20 nov 2013, 20:06

Riporto la soluzione, avevo dimenticato di farlo.
Dopo tutte le deduzioni fatte in [1], posso dire:

$P=\lim_{n\rightarrow \infty }s_{2n}$
$D=\lim_{n\rightarrow \infty }s_{2n+1}$
$P-D=\lim_{n\rightarrow \infty }s_{2n}-\lim_{n\rightarrow \infty }s_{2n+1}=\lim_{n\rightarrow \infty }a_{2n+1}=0$

Questo dimostra che al limite D e P convergono allo stesso limite, pertanto la serie generale converge.

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Criterio di Leibniz

[1] Criterio di Leibniz

[2] Re: Criterio di Leibniz

[3] Re: Criterio di Leibniz

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