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Criterio di Leibniz

Analisi, geometria, algebra, topologia...

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[1] Criterio di Leibniz

Messaggioda Foto UtenteIanero » 9 nov 2013, 11:19

Buongiorno a tutti,
ho una domandina (spero non troppo pesante) sul criterio di Leibniz per la convergenza delle serie a termini alternati, in particolare la sua dimostrazione.
Ho per ipotesi che:
\sum_{n=0}^{\infty }(-1)^na_n
a_n\geq 0\forall n
La successione { a_n } è decrescente
a_n\rightarrow 0 per n \rightarrow \infty

Quindi inizio dicendo che:

s_{2n} \geq s_{2n}-a_{2n+1}+a_{2n+2}=s_{2n+2}
Ovvero:
s_0 \geq s_2 \geq s_4 \geq ... \geq s_{2n} \geq ...
s_1 \leq s_3 \leq s_5 \leq ... \leq s_{2n+1} \leq ...

Pertanto la ridotta ad indici pari (decrescente) ha per estremo superiore s_0, e la ridotta ad indici dispari (crescente) ha per estremo inferiore s_1.

Infine posso dire anche che:
s_{2n+1}=s_{2n}-a_{2n+1} \leq s_{2n}
Ogni elemento della successione dispari è minore della pari.

Da qui non ho capito come proseguire, qualcuno potrebbe dedicarmi 5 minuti?
Grazie in anticipo.
Servo, dai a costui una moneta, perché ha bisogno di trarre guadagno da ciò che impara.
Euclide.
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[2] Re: Criterio di Leibniz

Messaggioda Foto Utentemavesla » 20 nov 2013, 17:55

Ciao! Siccome devo ancora imparare bene a scrivere formule e formule nei post, ti rimando a questo articolo di Foto UtenteIsidoroKZ: nella sezione matematica/analisi la prima parte degli appunti consigliati (Analisi 1), a pagina 160, dovrebbe contenere proprio la risposta che cercavi!! :-)
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[3] Re: Criterio di Leibniz

Messaggioda Foto UtenteIanero » 20 nov 2013, 20:06

Riporto la soluzione, avevo dimenticato di farlo.
Dopo tutte le deduzioni fatte in [1], posso dire:

P=\lim_{n\rightarrow \infty }s_{2n}
D=\lim_{n\rightarrow \infty }s_{2n+1}
P-D=\lim_{n\rightarrow \infty }s_{2n}-\lim_{n\rightarrow \infty }s_{2n+1}=\lim_{n\rightarrow \infty }a_{2n+1}=0

Questo dimostra che al limite D e P convergono allo stesso limite, pertanto la serie generale converge.
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