ElectroYou - la comunità dei professionisti del mondo elettrico

da **luciano87** » 12 dic 2013, 18:59

Siccome e' la prima tipologia di esercizio in cui mi imbatto, preferisco fare tutti i passaggi per comprendere da dove derivano i risultati. Ho svolto per ora solo la prima parte.
Si accettano consigli e segnalazioni errori e metodi di calcolo.

Nel circuito in figura, il generatore si spegne all’istante t=0. Determinare la tensione ai capi del condensatore in ogni istante di tempo.

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

Semplifico il circuito in

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

$R_{23}=R_{2}+R_{3}=40+60=100\Omega$

per t<0 ;
[unparseable or potentially dangerous latex formula]

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

$\[Z_{RC}= \frac{RC}{R+C}=\frac{100\cdot -100j}{100-100j}=\frac{-10^{4}}{100-100j}=\frac{-10^{4}(100+100j)}{(100-100j)(100+100j)}=$

$=\frac{-10^{4}(100+100j)}{100+100}=-5000-5000j$

dove: $Z_{C}=-\frac{j}{\omega c}=-\frac{j}{10\cdot 0.001}=-100j$

$Z_{eq}=R_{1}+Z_{RC}=-4900-5000j$

$V=RI\Rightarrow I=\frac{e}{Z_{eq}}=\frac{12}{(-4900-5000j)}$

$I=\frac{-12(4900-5000j)}{(4900+5000j)(4900-5000j)}=\frac{-58800+60000j}{49010000}$

$I=-0.001199755+0.001224239j$

Tramite il partitore posso calcolare la corrente lungo C

$i_{C}=I\frac{R_{23}}{R_{23}+Z_{C}}\Rightarrow (-0.001199755+0.001224239j)\frac{100}{100-100j}$

$i_{C}=\frac{(-0.1199755+0.1224239j)(100+100j)}{(100-100j)(100+100j)}$

$i_{C}=\frac{-11.99755-11.99755j+12.24239j-12.24239}{200}$

$i_{C}=\frac{-24.23994+0.24484j}{200}=-0.1211997+0.0012242j$

$V_{C}=Z_{C}i_{C}=(-100j)(-0.1211997+0.0012242j)$

$V_{C}=+0.12242+12.11997j$

$V_{m}=\sqrt{+0.12242^{2}+12.11997^{2}}=12.12058825$

$\tan \alpha =\frac{y}{x}=\frac{12.11997}{0.12242}=99.00$

$\alpha =1.56$

Sostituisco nella formula: $V_{C}=V_{m}e^{\alpha j}$

$V_{C}=12.12058825\, e^{1.56 j}$

che può esser scritto come $V_{C}=12.12058825\cos (10t+1.56)$

per quanto riguarda la seconda parte, ossia per t>0

1)Considero eo=12cos(10t)V per qualunque t, mi chiedo, in questo caso non danno un contributo costante?

2)Calcolo condizioni iniziali nulle. e(t) per t=0

3)Sommo il contributo 2) con 1). Questo è il termine transitorio $V_{C}(\infty )$ per t>0

ASPETTO IL VOSTRO VIA PER COMPLETARE IL TUTTO. GRAZIE

Sito web · da **admin** » 12 dic 2013, 19:23

Viene meglio con $Z_{RC}=50-\rm{j}50$ ;-)

...

da **luciano87** » 14 dic 2013, 12:53

Come si evince dai calcoli, infatti

admin, vengono fuori delle stringhe lunghissime.

admin ha scritto:Viene meglio con $Z_{RC}=50-\rm{j}50$ ...

Ho paura di sbagliare perché devo convertite tutti i dati da traccia??!
Se lascio i valori ottenuti, fino a che numero decimale posso prendere in considerazione, arrotondando in eccesso?

Faccio ora un mini riepilogo, saltando i passaggi (già svolti su ma che ho controllato e perfezionato) per esser certo di poter chiudere l'esercizio in modo corretto.

Immagine

Semplifico il circuito in
Immagine

per t<0 ;

$\[Z_{RC}= \frac{RC}{R+C}=\frac{100\cdot -100j}{100-100j}=5000-5000j$

$Z_{eq}=R_{1}+Z_{RC}=5100-5000j$

$I=\frac{e}{Z_{eq}}=\frac{12}{(5100-5000j)}$

$I=0.001199764+0.001176239j$

Tramite il partitore posso calcolare la corrente lungo C

$i_{C}=I\frac{R_{23}}{R_{23}+Z_{C}}\Rightarrow (0.001199764+0.001176239j)\frac{100}{100-100j}$

$i_{C}=+0.0599882+0.05881195j$

$V_{C}=Z_{C}i_{C}=(-100j)(-0.1211997+0.0012242j)$

$V_{C}=+5.881195-5.99882j$

$V_{m}=\sqrt{+5.881195^{2}-5.99882^{2}}=8.40085091$

$\tan \alpha =\frac{y}{x}=\frac{-5.99882}{5.881195}=-1.02$

$\alpha =-0.795298921$

Sostituisco nella formula: $V_{C}=V_{m}e^{\alpha j}$

$V_{C}=8.40085091\, e^{-0.79 j}$

che può esser scritto come $V_{C}=8.40085091\cos (10t-0.79)$

Posto t=0 , nella precedente otteniamo:

$V_{C}(0)=5.88V$

per t>0 ho la soluzione dinamica ( in evoluzione libera) trovo $R_{eq}$

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

$R_{eq}=R_{1}+R_{23}=200\Omega$

$V_{C}(0)=V_{C}(0)e^{-\frac{R_{eq}}{L}}\Rightarrow 5.88e^{20\cdot 10^{4}t}$

In definitiva

$V_{C}(t)=\begin{cases} & \ 8.40085091\cos (10t-0.79)\;\;\;\;t<0 \\ & \ 5.88e^{20\cdot 10^{4}t}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;t>0 \end{cases}$

INTEGRAZIONE E DUBBI:

1) Riguardo la correttezza nella simbologia $V_{C}$ , utilizzo gli apici per distinguerli? Ho la netta impressione che non siano scritti bene.

2) Esiste un metodo differente per t<0 per controllare i valori ottenuti?

3) Per t>0 ho un'evoluzione libera data dall'omogenea considerando le condizioni iniziali. Posso calcolare tramite Req e verificarne il risultato con equazioni. Problema: mediante le equazioni $\begin{cases} & \ I=i_{C}+i_{2} \\ & \ V_{C}=V_{2} \\ & \ e(t)=V_{1}+V_{C} \end{cases}$ ho un valore $V_{C}= Ae^{-20t}+6$

il quale non combacia con quello calcolato precedentemente, perché?

CONSIGLI E CHIARIMENTI SONO BEN ACCETTI. GRAZIE ;-)

Sito web · da **admin** » 14 dic 2013, 13:13

Nei calcoli sono più che sufficienti tre cifre significative (che non sono tre cifre dopo la virgola). Tenerne una decina come fai tu è assurdo.
Ma oltre che a tenere il numero sensato di cifre significative, devi imparare a fare i calcoli giusti

$\begin{array}{l} {Z_{RC}} = \frac{{ - {\rm{j}}{X_C}R}}{{R - {\rm{j}}{X_C}}} = \frac{{100\left( { - {\rm{j}}100} \right)}}{{100 - {\rm{j}}100}} = \frac{{ - {\rm{j}}100}}{{1 - {\rm{j}}}} = \\ \\ = \frac{{ - {\rm{j}}100\left( {1 + {\rm{j}}} \right)}}{{\left( {1 - {\rm{j}}} \right)\left( {1 + {\rm{j}}} \right)}} = \frac{{ - {\rm{j}}100 + 100}}{2} = 50 - {\rm{j}}50 \end{array}$

da **luciano87** » 14 dic 2013, 13:22

infatti come ho scritto prima, ho ricontrollato i calcoli...comunque ok!

luciano87 ha scritto:

riguardo il resto dell'esercizio, che ho poi ultimato la seconda parte, va bene o ci sono errori (calcoli numerici a parte)?

e...

INTEGRAZIONE E DUBBI:

1) Riguardo la correttezza nella simbologia $V_{C}$ , utilizzo gli apici per distinguerli? Ho la netta impressione che non siano scritti bene.

2) Esiste un metodo differente per t<0 per controllare i valori ottenuti?

3) Per t>0 ho un'evoluzione libera data dall'omogenea considerando le condizioni iniziali. Posso calcolare tramite Req e verificarne il risultato con equazioni. Problema: mediante le equazioni $\begin{cases} & \ I=i_{C}+i_{2} \\ & \ V_{C}=V_{2} \\ & \ e(t)=V_{1}+V_{C} \end{cases}$ ho un valore $V_{C}= Ae^{-20t}+6$

il quale non combacia con quello calcolato precedentemente, perché?

Sito web · da **admin** » 14 dic 2013, 13:26

luciano87 ha scritto:... infatti come ho scritto prima, ho ricontrollato i calcoli..

Ma allora cosa serve dirti che devi imparare a fare i calcoli? Non devi controllarli devi imparare ad eseguirli.

da **luciano87** » 14 dic 2013, 13:30

...rielaboro il tutto e posto (spero il giusto) e procediamo passo dopo passo!

da **luciano87** » 15 dic 2013, 16:01

Spero stavolta sia definitivo.. [-o<

Credo di aver trovato anche parte delle risposte poste precedentemente.
Immagine

Semplifico il circuito in
Immagine

per t<0 ;

$Z_{RC}=\frac{R(-jx_{C})}{R-jx_{C}}=50-50j$

$Z_{eq}=R_{1}+Z_{RC}=150-50j$

$I=\frac{e}{Z_{eq}}=\frac{12}{(150-50j)}=0.072+0.024j$

Tramite il partitore posso calcolare la corrente lungo C

$i_{C}=I\frac{R_{23}}{R_{23}+Z_{C}}\Rightarrow (0.072+0.024j)\frac{100}{100-100j}$

$i_{C}=0.024+0.048j$

$V_{C}=Z_{C}i_{C}=(-100j)(0.024+0.048j)$

$V_{C}=4.8-2.4j$

$V_{m}=\sqrt{4.8^{2}-2.4^{2}}=5.366V$

$\tan \alpha =\frac{y}{x}=\frac{-2.4}{4.8}=-0.5$

$\alpha =-0.464$

Sostituisco nella formula: $V_{C}=V_{m}e^{\alpha j}$

$V_{C}=5.366\, e^{-0.464 j}$

che può esser scritto come $V_{C}=5.366\cos (10t-0.464)$

Per controllare il valore ottenuto verifico con equazioni:

Riassumo i passaggi, citando solo l'ultima stringa:

$R_{1}C\frac{\mathrm{d}V_{C}}{\mathrm{d} t}+V_{C}\left ( \frac{R_{1}}{R_{23}}+1 \right )=12\cos (10t)$

$0.1\frac{\mathrm{d}V_{C}}{\mathrm{d} t}+2V_{C}=12$

$\lambda +\frac{2}{0.1}=0\Rightarrow \lambda=-20$

$y_{oV_{C}}=Ae^{-20t}$

$\begin{cases} & \ y_{pV_{C'}}=B\cos\omega t+C\sin \omega t \\ & \ \[y_{pV_{C''}}=-\omega B\sin \omega t+\omega C\cos \omega t\] \end{cases}$

$0.1(-\omega B\sin \omega t+\omega C\cos \omega t)+2(B\cos \omega t+C\sin \omega t)=12\cos (\omega t)$

$\begin{cases} & \ -0.1\omega B\sin \omega t+2C\sin \omega t=0 \\ & \ 0.1\omega C\cos \omega t+2B\cos \omega t=12\cos \omega t \end{cases}$

Ricavo:
B=4.8
C=2.4
Questi valori sostituiti in $\ y_{pV_{C'}}=B\cos\omega t+C\sin \omega t$ otterrò

$\ y_{pV_{C'}}=4.8\cos\omega t+2.4\sin \omega t$

$V_{m}=\sqrt{4.8^{2}-2.4^{2}}=5.366V$

$\tan \alpha =\frac{y}{x}=\frac{-2.4}{4.8}=-0.5$

$\alpha =-0.464$

$V_{C}=5.366\, e^{-0.464 j}$

che può esser scritto come $V_{C}=5.366\cos (10t-0.464)$

*presumo sia corretto vista l'entita' dei valori

Tento di rispondere a parte dei miei dubbi:
- il valore $\alpha$ non e' quello della costante di tempo! Sono due valori distinti e separati.
-gli apici Vc nell'equazione, credo ora abbiamo molto più significato rispetto quelli scritti prima

Posto t=0,
in Immagine

:

avrò: $V_{C}(0)=4.799V$

per t>0
Immagine

Ho la soluzione dinamica ( in evoluzione libera) trovo $\[R_{eq}$
Utilizzo le conduttanze dei due elementi resistivi:

$R_{eq}=G_{1}+G_{23}=0.02$

$V_{C}(0)=V_{C}(0)e^{-\frac{R_{eq}}{L}}\Rightarrow 4.799e^{-20t}$

In definitiva

$V_{C}(t)=\begin{cases} & \ 5.366\cos (10t-0.464)\;\;\;\;t<0 \\ & \ 4.799e^{-20t}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;t>0 \end{cases}$

Verificando per t>0 risulta superfluo ripetere le equazioni, pertanto basta solo imporre
per calcolare A
$V_{C}(0^{-})=V_{C}(0^{+})$

4.799=A

ora inserito nella suddetta equazione: $y_{oV_{C}}=Ae^{-20t}$

avrò $y_{oV_{C}}=4.799e^{-20t}$

$V_{C}(t)= 4.799e^{-20t}+5.366\cos (10t-0.464)$

Ps:

admin ho imparato a fare i calcoli?

A VOI SEGNALAZIONI ERRORI, CONSIGLI! GRAZIE :ok:

da **RenzoDF** » 15 dic 2013, 16:58

La prima parte la potevi "abbreviare" sia evitando di calcolare inutilmente la corrente ic, ed applicando invece un semplice partitore di tensione, sia alternativamente tracciando il diagramma fasoriale qualitativo

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

dal quale, poteva assere ricavata sia la Vc, sia lo sfasamento rispetto ad E

$\begin{align} & \frac{{{V}_{C}}}{1}=\frac{E}{\sqrt{5}}\approx 5.37 \\ & \alpha =\arctan \left( \frac{1}{2} \right)\approx 0.464 \\ \end{align}$

Le correnti in R23 ed in C sono infatti in quadratura ed uguali in modulo; visto che anche R1=100 ohm, ne segue che E risulterà in modulo radice di cinque volte maggiore di Vc e la tangente dell'angolo di sfasamento fra le due tensioni sarà pari ad 1/2.

Per quanto riguarda t > 0 Ok, ma occhio agli errori di "battitura" (Req= ... , L). ;-)

... e quel 4.799 arrotondalo pure a 4.8!

BTW ti ricordo che

admin ti ha consigliato di usare tre cifre significative, non tre cifre "dopo la virgola", come vedo invece nei tuoi calcoli.

Sito web · da **admin** » 15 dic 2013, 19:34

luciano87 ha scritto:admin ho imparato a fare i calcoli?

E' stata dura, ma sembra che tu ce l'abbia fatta.
Ora devi anche
-imparare a scrivere intanto espressioni sensate, e non come questa, per intenderci

luciano87 ha scritto: $\[V_{C}(0)=V_{C}(0)e^{-\frac{R_{eq}}{L}}$

-imparare la differenza tra cifre dopo la virgola e cifre significative;
-seguire possibilmente le strade meno tortuose per arrivare alla meta.

ElectroYou - la comunità dei professionisti del mondo elettrico

ESERCIZIO 4 - aiuto, caso impedenza?

[1] ESERCIZIO 4 - aiuto, caso impedenza?

[2] Re: ESERCIZIO 4 - aiuto, caso impedenza?

[3] Re: ESERCIZIO 4 - aiuto, caso impedenza?

[4] Re: ESERCIZIO 4 - aiuto, caso impedenza?

[5] Re: ESERCIZIO 4 - aiuto, caso impedenza?

[6] Re: ESERCIZIO 4 - aiuto, caso impedenza?

[7] Re: ESERCIZIO 4 - aiuto, caso impedenza?

[8] Re: ESERCIZIO 4 - aiuto, caso impedenza?

[9] Re: ESERCIZIO 4 - aiuto, caso impedenza?

[10] Re: ESERCIZIO 4 - aiuto, caso impedenza?

Chi c’è in linea

Informazioni

Seguici

Pubblicità

Credits