ElectroYou - la comunità dei professionisti del mondo elettrico

da **subliminal** » 27 dic 2013, 23:12

Salve a tutti, volevo porvi il seguente problema:

Sia z(t) = x(t)y(t)

.

Calcoliamo la trasformata del prodotto Z(f)

:

$Z(f) = \int_{-\infty}^{\infty} z(t) \ e^{-j2\pi ft} dt = \\ \int_{-\infty}^{\infty} x(t)y(t) \ e^{-j2\pi ft} dt$

Applicando l'equazione di sintesi ad x(t)

( usando la variabile v ) si ottiene:

$Z(f) = \int_{t = -\infty}^{ \infty} \left [ \int_{v = -\infty}^{\infty} X(v) e^{j2\pi vt} dv \right ] y(t) \ e^{-j2\pi ft} dt$

Il libro adesso dice: "Invertendo quindi l'ordine di integrazione" si ottiene:

$Z(f) = \int_{v = -\infty}^{\infty} X(v) \left [ \int_{ t = -\infty}^{\infty} y(t) \ e^{-j2\pi ft} dt \right ] e^{j2\pi vt} dv$

ovvero :

$Z(f) = \int_{v = -\infty}^{\infty} X(v) \left [ \int_{ t = -\infty}^{\infty} y(t) \ e^{-j2\pi (f-v)t} dt \right ] e^{j2\pi vt} dv$

- Cosa si intende per "invertendo l'ordine di integrazione" ( E' un teorema ? )
- Qualcuno sa spiegarmi meglio l'ultimo passaggio (f-v)

?

Grazie a tutti della collaborazione

da **gotthard** » 27 dic 2013, 23:34

subliminal ha scritto:- Cosa si intende per "invertendo l'ordine di integrazione" ( E' un teorema ? )

Sono di fretta, prova a controllare, dovrebbe essere stato usato il Teorema di Fubini-Tonelli.

subliminal ha scritto:- Qualcuno sa spiegarmi meglio l'ultimo passaggio ?

E' stata usata la proprietà, per la quale nel prodotto di due numeri aventi la stessa base, gli esponenti si sommano; per esempio:

$e^{2x}e^{-3x}=e^{-x}$

da **subliminal** » 27 dic 2013, 23:36

1) ma in questo caso abbiamo un integrale doppio?
2 ) i due esponenziali anche se hanno la stessa base non fanno parte di due integrali diversi?

da **gotthard** » 28 dic 2013, 0:01

subliminal ha scritto:1) ma in questo caso abbiamo un integrale doppio?

A meno che mi sbagli, sì.

subliminal ha scritto:2 ) i due esponenziali anche se hanno la stessa base non fanno parte di due integrali diversi?

Sì, ma, se non sbaglio, è lecito farla; sicuramente è stata fatta per avere delle semplificazioni e per giungere al risultato voluto, che sarà una convoluzione in frequenza.

Comunque l' ultimo passaggio non mi torna, prova a controllare che sia veramente così.

Aspettiamo comunque i pareri dei più esperti del forum ;-)

da **subliminal** » 28 dic 2013, 0:03

nell'integrale doppio per essere tale, non vi deve essere come argomento una funzione di due variabili?

da **dimaios** » 28 dic 2013, 18:12

E tu non puoi vederla così ?

$f(v,t)=X(v) \cdot y(t) \cdot e^{......}$

da **subliminal** » 29 dic 2013, 0:30

quindi allora è un integrale doppio ?

da **dimaios** » 29 dic 2013, 7:39

Parti da questa espressione:

$Z(f) = \int_{t = -\infty}^{ \infty} \left [ \int_{v = -\infty}^{\infty} X(v) e^{j2\pi vt} dv \right ] y(t) \ e^{-j2\pi ft} dt$

E sposta la variabile di integrazione interna verso l'esterno in modo tale che l'argomento sia interno ad ambedue gli integrali e le variabili di integrazione completino l'espressione.
A questo punto sostituisci l'argomento con l'espressione che ti ho suggerito nel post precedente.

La scrittura finale dovrebbe suggerirti la risposta.

da **subliminal** » 2 gen 2014, 16:18

Perdonami dimaios ma come posso portare la variabile di integrazione fuori quando quest'ultima dipende dall'integrale?

da **dimaios** » 2 gen 2014, 20:04

Non capisco quale problema ci sia nello scrivere l'integrale nel seguente modo :

$Z(f) = \int_{t = -\infty}^{ \infty} \int_{v = -\infty}^{\infty} X(v) \cdot y(t)\cdot e^{j2\pi vt} \cdot e^{-j2\pi ft} dv dt$

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