ElectroYou - la comunità dei professionisti del mondo elettrico

da **bjunior** » 20 set 2014, 1:46

Ciao a tutti volevo farvi controllare questo esercizio di teoria dei sistemi che si basa prettamente sull'uso della matrice di osservabilità, per vedere se ho ragionato bene:

Sia dato il sistema:
x(t+1)=Ax(t)+Bu(t)

$A=\begin{bmatrix} -1 & 1 & 1 \\ -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$
$B=\begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{bmatrix}$
$C=\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}$

Si calcoli uno stato iniziale x(0)

tale che negli istanti di tempo t=0,1,2

l'evoluzione libera dell'uscita sia pari a y(0)=0

,

e

. Si calcoli inoltre y(3)

Allora io ho svolto cosi:
ho trovato la matrice di osservabilità $Q=\begin{bmatrix} C \\ CA \\ CA^2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & -1 \end{bmatrix}$

e ho posto :
$\begin{bmatrix} y(0) \\ y(1) \\ y(2) \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & -1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_1(0) \\ x_2(0) \\ x_3(0) \end{bmatrix}$

e si ha quindi x_1(0)=-1

,

e

per trovare y(3)

ho esteso la matrice di osservabilità che diventa:
$Q=\begin{bmatrix} C \\ CA \\ CA^2 \\ CA^3 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & -1 \\ 0 & 1 & 0\end{bmatrix}$
Dato che l'ultima riga è uguale alla prima elimino la prima e pongo:

$\begin{bmatrix} y(1) \\ y(2) \\ y(3) \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} CA \\ CA^2 \\ CA^3 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_1(0) \\ x_2(0) \\ x_3(0) \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_1(0) \\ x_2(0) \\ x_3(0) \end{bmatrix}$
e risulta y(3)=0

ho ragionato bene??

grazie a chi mi aiuterà O_/

da **dimaios** » 23 set 2014, 11:24

In linea di principio il ragionamento è corretto.
L'ultimo passaggio però è inutilmente complicato in quanto puoi utilizzare la matrice di transizione.

Per definizione.

$x(n) = A^{n}x(0)$

Per cui
$y(n) = CA^{n}x(0)$

Nel tuo caso :

$y(3) = C A^{3} x( 0 )$

Da cui il risultato.

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Esercizio tramite matrice di osservabilità

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