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Potenza reattiva istantanea

Circuiti e campi elettromagnetici

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[1] Potenza reattiva istantanea

Messaggioda Foto UtenteHuntwer » 5 dic 2014, 17:06

Secondo wikipedia la seguente formula rappresenta la potenza reattiva istantanea:
Q(t) = \frac{1}{2\omega} \cdot \left( v(t) \frac{di(t)}{dt} - i(t) \frac{dv(t)}{dt} \right)
In wikipedia dice inoltre che si può arrivare a questa formula partendo dalla corrente i(t) e tensione v(t) istantenee.
Potete mostrarmi come fare, oppure darmi un indizio in più perché la non dice altro? Ve ne sono grato se mi aiutate.
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[2] Re: Potenza reattiva istantanea

Messaggioda Foto Utenterini » 7 dic 2014, 12:43

Ho molti dubbi a riguardo:
  • Non ho mai visto una definizione di potenza reattiva istantanea, su nessun muro per strada e su nessun testo;
  • Non ho mai visto quella relazione;
  • Nella relazione che hai proposto compare un omega (\omega), quindi una frequenza (f), quindi un periodo (T). A questo punto il concetto di istantaneità della potenza reattiva si perde.
Si è vero, la pulsazione è stata messa per far tornare dimensionalmente i conti, pero' se non si parte da una definizione generale non si può arrivare a niente.
Concludo dicendoti che a mio avviso quella relazione non ha senso, istantaneamente esiste solo la potenza p(t)=v(t)\cdot i(t). Io fino ad oggi credo solo a questa relazione. Poi chissà cosa ci inventeremo per il futuro.
Saluti O_/
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[3] Re: Potenza reattiva istantanea

Messaggioda Foto UtenteHuntwer » 7 dic 2014, 16:42

Non è che me la sia inventata io eh, sia chiaro :P
Ce anche su wikipedia http://it.wikipedia.org/wiki/Potenza_elettrica#Potenza_reattiva.
E' molto strano, sembra che qualcuno si è divertito a scrivere qualcosa di sbagliato lì sopra.
Grazie per la risposta.
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[4] Re: Potenza reattiva istantanea

Messaggioda Foto Utenteguzz » 7 dic 2014, 17:32

rini ha scritto:Nella relazione che hai proposto compare un omega (\omega), quindi una frequenza (f), quindi un periodo (T). A questo punto il concetto di istantaneità della potenza reattiva si perde.[/list]

non sono d'accordo. se la frequenza non varia, \omega è una costante, quindi non influenza l'intervallo di osservazione e non si perde il concetto di istantaneità.
leggendo la pagina wikipedia indicata da Foto UtenteHuntwer direi che la formula sia da applicarsi a regimi periodici sinusoidali (dato che per i non sinusoidali rinvia a un altro paragrafo), quindi da questo punto di vista non è sbagliata.

poi non mi ricordo di aver mai visto sta formula, quindi non so se sia corretta, mi informo...
Almeno l'itagliano sallo...
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[5] Re: Potenza reattiva istantanea

Messaggioda Foto Utenteafz » 7 dic 2014, 17:48

Salve, a me risulta che la potenza reattiva istantanea, almeno per quanto riguarda il regime periodico alternato sinusoidale, è definita come il prodotto della tensione e della componente della corrente in quadratura con la tensione stessa.
Allo stesso modo, la potenza istantanea attiva è data dal prodotto della tensione per la componente della corrente in fase con la tensione.

Cioè, partendo da una tensione e una corrente sinusoidali:
v(t)=\sqrt 2 \cdot V \cdot \cos(\omega t)
i(t)=\sqrt 2 \cdot I \cdot \cos(\omega t- \phi)

la potenza istantanea si ottiene nel solito modo

p(t)=v(t) \cdot i(t)

si arriva alla solita espressione della potenza istantanea:

p(t)=VI \cos(\phi) \cdot (1+ \cos(2 \omega t)) + VI \sin(\phi) \cdot \sin(2 \omega t)

Il primo addendo è la potenza attiva istantanea (p_a(t)), il secondo la potenza reattiva istantanea (p_r(t)):

p_a(t)= VI \cos(\phi) \cdot (1+ \cos(2 \omega t))
p_r(t)= VI \sin(\phi) \cdot \sin(2 \omega t)

L'espressione di p_a(t) e p_r(t) si può ricavare "sviluppando" la corrente nelle sue componenti in fase i_a(t) e in quadratura (i_r(t)) con la tensione:

i_a(t)= \sqrt 2 I \cos(\phi) \cos( \omega t)
i_r(t)= \sqrt 2 I \sin(\phi) \sin( \omega t)

p_a(t) e p_r(t) sono dunque:
p_a(t)= v(t) \cdot i_a(t)
p_r(t)= v(t) \cdot i_r(t)

Ciò premesso, anch'io non avevo mai visto prima d'ora la formula di wiki. Oltretutto, se non ho sbagliato i conti, mettendo nella formula

Q(t) = \frac{1}{2\omega} \cdot \left( v(t) \frac{di(t)}{dt} - i(t) \frac{dv(t)}{dt} \right)

i valori di tensione e corrente
v(t)=\sqrt 2 \cdot V \cdot \cos(\omega t)
i(t)=\sqrt 2 \cdot I \cdot \cos(\omega t- \phi)

a me esce il risultato Q(t)= VI \sin(\phi), che però è il solito valore della potenza reattiva, definito come il massimo della potenza reattiva istantanea
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[6] Re: Potenza reattiva istantanea

Messaggioda Foto UtenteHuntwer » 7 dic 2014, 18:00

Non è che ci si arriva in modo inverso, cioè partendo dalla formula della potenza reattiva si arrivi a quella?
afz ha anche confermato che tuttavia la formula porta a dei risultati comunque non sbagliati.
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[7] Re: Potenza reattiva istantanea

Messaggioda Foto Utenteafz » 7 dic 2014, 18:42

Onestamente non saprei, la formula mi lascia un po' perplesso, perché anzichè dare un valore istantaneo della potenza reattiva sembra dare il suo valore massimo:

v(t)=\sqrt 2 \cdot V \cdot \cos(\omega t)
i(t)=\sqrt 2 \cdot I \cdot \cos(\omega t- \phi)

Q(t) = \frac{1}{2\omega} \cdot \left( v(t) \frac{di(t)}{dt} - i(t) \frac{dv(t)}{dt} \right)

Q(t) = \frac{2 VI}{2\omega} \cdot \left(  \cos(\omega t)  \frac{d (\cos(\omega t- \phi))}{dt} -  \cos(\omega t- \phi) \frac{d (\cos(\omega t))}{dt} \right)

Q(t) = \frac{2 \omega VI}{2\omega} \cdot \left(  - \cos(\omega t)  \sin(\omega t- \phi)) +  \cos(\omega t- \phi) \sin(\omega t)) \right)

Q(t) = \frac{2 \omega VI}{2\omega} \cdot \left(  - \cos(\omega t)  \cos(\phi) \sin( \omega t) + \cos( \omega t) \sin(\phi) \cos(\omega t) +  \cos(\omega t) \cos( \phi) \sin(\omega t) +
+\sin(\omega t) \sin( \phi) \sin(\omega t)  \right)

Q(t) = VI \cdot \left(  \sin(\phi) \cos^2( \omega t)   + \sin( \phi) \sin^2(\omega t) \right) = VI \sin (\phi)
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[8] Re: Potenza reattiva istantanea

Messaggioda Foto UtenteHuntwer » 7 dic 2014, 19:38

E' un errore allora.
Alla fine esiste la corrente reattiva istantanea?
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[9] Re: Potenza reattiva istantanea

Messaggioda Foto Utenteafz » 7 dic 2014, 21:52

E' un errore allora.


Ripensandoci bene, forse magari cambia semplicemente la definizione di potenza reattiva istantanea... mi spiego meglio: da come ci era stato insegnato, la potenza reattiva è il valore massimo della potenza reattiva istantanea, definita come in [5].

Seguendo invece wiki, la potenza reattiva è definita come il valore medio della potenza reattiva istantanea
Q(t) = \frac{1}{2\omega} \cdot \left( v(t) \frac{di(t)}{dt} - i(t) \frac{dv(t)}{dt} \right)
\langle Q \rangle= \frac{\int_{T} Q(t)\, dt}{T} = V_{\mathrm{rms}} I_{\mathrm{rms}} \mathrm{sen} \, {\varphi}

Evidentemente, affinchè per un sistema di tensione e corrente sinusoidale risulti in ogni caso Q= VI \sin (\phi), dovranno essere diverse le definizioni delle potenze reattive istantenee, la qual cosa tutto sommato non è un problema, perché, come già detto da Foto Utenterini, l'unica potenza che ha un senso fisico reale è la potenza istantanea p(t)= v(t) \cdot i(t).

Tornando alla formula proposta da wiki, la potenza reattiva istantanea risulta tempo-variante per esempio in regime periodico non sinusoidale, per esempio:
v(t)= \sqrt 2 \cdot V_1 \cos(\omega t) + \sqrt 2 \cdot V_3 \cos(\omega t)
i(t)= \sqrt 2 \cdot I_1 \cos(\omega t - \phi_1)

risulta

Q(t)= V_1 I_1 \sin(\phi_1) + 3 V_3 I_1 \sin(3 \omega t)  \cos(\omega t - \phi_1) - V_3 I_1 \cos (3 \omega t) \sin (\omega t - \phi_1)

Istanteneamente Q varia, ma mediando nel tempo, Q ha il valore costante Q= V_1 I_1 \sin (\phi_1), coerentemente con ciò che ci saremmo aspettati secondo la teoria delle potenze in regime periodico non sinusoidale, dove, secondo la teoria di Budeanu:

Q = \sum_n V_{{rms}_n} I_{{rms}_n} \cdot \sin{\varphi_n} = \sum_n Q_n
(come riporta wiki)

Che poi, a proposito di potenza in regime non sinusoidale, si potrebbe anche tenere presente che esistono diverse definizioni di potenza deformante e reattiva, per cui non esiste solo la teoria di Budeanu- quella riportata da wiki e, in generale, la più diffusa- ma anche altre teorie, tipo quella di Sharon o di Czarnecki -per esempio:
http://lsczar.info/doc/31%20What%20is%20Wrong.pdf

Non so se sono stato d'aiuto o se forse ho ancora fatto più confusione, ma in linea di massima direi che non ci sono problemi a esprimere la potenza reattiva istantanea come espresso da wiki o come prodotto tra tensione e corrente "reattiva". Alla fine, credo che l'importante sia che, in modo o nell'altro, salti fuori un Q= VI \sin (\phi)
Il tutto, ovviamente, a meno di miei svarioni :mrgreen:
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[10] Re: Potenza reattiva istantanea

Messaggioda Foto UtenteHuntwer » 7 dic 2014, 23:14

Davvero molto interessante.
Tuttavia non risolve il problema principale: da dove è uscita quella formula?

A quanto ho capito però, pare sia una di quelle formule uscita dagli standard, poco utilizzate, e che quindi, pochi conoscono.

Di certo bisogna ragionare in modo generale e in un regime periodico, come anche tu hai fatto notare la formula è valida in altri regimi periodici.
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