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da **RBS** » 14 feb 2015, 12:07

per la successione di funzioni $f_n(x)=\frac{x \sin(nx)}{n}$ studiare convergenza semplice e uniforme in R.

io posto che $|\sin(nx)|<1$ maggiorando la successione di funzioni risulta che converge uniformemente (e quindi puntualmente) in R a zero
è corretto il.mio ragionamento?

da **DanteCpp** » 14 feb 2015, 20:12

Penso che il tuo ragionamento non sia corretto, inanzi tutto perché: $\sum_{n=1}^{\infty}1=\infty$ quindi la serie con cui stai maggiorando diverge. Poi nel tuo caso non puoi applicare direttamente il teorema di Weierstrass, senza fare considerazioni sul dominio...

Potresti farlo con qualcosa del genere:

$f_n(x)=\frac{\sin(nx)}{n^2}$

perché

$\sum_{n=1}^{\infty}\left | \frac{\sin(nx)}{n^2} \right | < \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$

questo per $\forall x \in \mathbb{R}$

e poiché la seconda serie converge, anche la prima converge assolutamente e uniformemente, per il teorema di Weierstrass.

da **RBS** » 17 feb 2015, 17:01

DanteCpp ha scritto:Penso che il tuo ragionamento non sia corretto, inanzi tutto perché: $\sum_{n=1}^{\infty}1=\infty$ quindi la serie con cui stai maggiorando diverge. Poi nel tuo caso non puoi applicare direttamente il teorema di Weierstrass, senza fare considerazioni sul dominio...

Potresti farlo con qualcosa del genere:

$f_n(x)=\frac{\sin(nx)}{n^2}$

perché

$\sum_{n=1}^{\infty}\left | \frac{\sin(nx)}{n^2} \right | < \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$

questo per $\forall x \in \mathbb{R}$

e poiché la seconda serie converge, anche la prima converge assolutamente e uniformemente, per il teorema di Weierstrass.

L'argomento della domanda è SUCCESSIONE di funzioni e non SERIE di funzioni...