Dinamica del primo ordine in presenza di interruttori

[Londoneye]

Salve a tutti ragazzi/e

volevo porvi un dubbio e se è possibile avere qualche chiarimento in merito.
Allora, sto facendo un esercizio sulla dinamica del primo ordine in cui è presente un interruttore.
Di seguito il testo:

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

Il circuito è in regime stazionario per , prima dell'apertura dell'interruttore. Determinare l'andamento dell'intensità di corrente , per e .

Allora ho iniziato a fare questo ragionamento: Sono in regime stazionario, quindi il mio condensatore si comporta come un circuito aperto e l'interruttore prima dell'istante risulta chiuso. Quindi ho questo circuito da studiare:

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

Opero le riduzioni serie-parallelo dove opportuno, è in parallelo con un cortocircuito, per cui non la considero nel calcolo della resistenza equivalente.


Lavoro sul seguente circuito :

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

Applico il partitore per trovare la tensione:



Adesso sorge il mio dubbio: devo calcolare la tensione per ; sono ancora in regime stazionario. Come devo considerare l'interruttore in questo caso? Aperto? Se si, il resistore come si comporta, cioè qual è l'effetto dell'interruttore aperto su di esso?

Spero di non aver scritto qualche amenità finora nel procedimento.
Grazie a tutti per l'aiuto.

[lillo]

posso risponderti al volo, purtroppo non posso essere al momento più esaustivo:
in t<0 hai trovato quelle che sono le condizioni iniziali.
dal disegno si capisce che in t=0 l'interruttore apre, quindi il circuito passa ad una nuova configurazione.
con il tasto aperto R4 non è più così inutile....
appena il tasto vi è un evoluzione dinamica del circuito, insomma un transitorio, durante il quale cambieranno le grandezze (tensione e corrente) sui vari componenti.
al termine del transitorio il circuito torna in regime stazionario, con le considerazioni del caso.
comunque un metodo semplice è quello di trovare l'equivalente di Thevenin ai capi del condensatore, il tutto si riduce a un circuito RC elementare, risolvibile con una semplice eq, differenziale del primo ordine.
in definitiva qualsiasi circuito del primo ordine avrà una soluzione di questo tipo:



con

dove Req è la resistenza vista dal condensatore

ma ultimamente sono strafatto... aspetta conferme
PS: metti dei pallini nei punti di connessione del circuito!

[IsidoroKZ]

Proseguo la risposta di lillo, supponendo che possa usare la formula indicata nel post precedente.

Conviene lavorare sulla tensione sul condensatorem che non ha gradini e salti dato che e` una variabile di stato, poi la tensione sul condensatore divisa per la resistenza R3 ti da` I3. In questo circuito parlare di tensione sul condensatore o di corrente attraverso R3 e` la stessa cosa, a meno del fattore R3.
In altri componenti invece, quando si ha un interruttore che si apre o chiude, puoi avere un salto di tensione ai loro capi. Ad esempio se volessi calcolare la tensione su R4 avresti un salto fra e

Nella formula di lillo, il valore di o anche lo trovi considerando una situazione a regime con il condensatore aperto e anche l'interruttore aperto. Questa corrente e` piu` piccola di quella che avevi per t<0.

La tensione iniziale sul condensatore, subito dopo che hai aperto l'interruttore, e` uguale a quella che c'era sul condensatore subito prima che aprissi l'interruttore e questo vuol dire che anche la corrente attraverso R3 un attimo dopo aver aperto l'interruttore e` uguale a quella che c'era subito prima che aprissi l'interruttore: .

L'evoluzione della corrente vale quindi
I due valori delle correnti li trovi facilmente, anzi uno mi pare lo abbia gia` calcolato, la costante di tempo ti e` gia` stato detto come trovarla, e sei a posto.

Da notare che per preferenze personali non ho usato l'equivalente Thevenin, ma va benissimo anche quello.

[Londoneye]

IsidoroKZ, lillo

grazie per le dritte. La soluzione proposta dal prof è questa:



solo che onestamente non ho capito bene cosa ha fatto...
o meglio io vedo "corrente nel circuito",corrente su i3 tutto moltiplicato per il resistore R3 ma non ne sono sicura.

[IsidoroKZ]

La corrente in R3 dopo che l'interruttore e` aperto da tanto tempo e` quella che calcoli da questo circuito

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

Se guardi l'espressione che hai scritto vedi che il primo fattore



e` la corrente che esce dal generatore, ottenuta come E/resistenza vista dal generatore.

Il secondo fattore



e` il partitore di corrente fra R2 (ramo che non ti interessa) e R3+R4, ramo che ti interessa. Una volta che hai la corrente attraverso R3, moltiplichi questa corrente per R3 e hai la tensione su R3, e quindi anche su C quando t->oo.

[Londoneye]

IsidoroKZ

grazie mi è più chiaro, termino e posto l'esercizio completo.

[Londoneye]

Studio il circuito per

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

la tensione è calcolata in maniera analoga al caso con la differenza che adesso, essendo aperto l'interruttore, c'è anche il contributo del resistore


Calcolo la corrente vista dal generatore :


Calcolo ora la corrente nel ramo


La tensione:

L'espressione generale della soluzione è data da:
dove e

Imponendo la condizione iniziale, calcolo la costante A:


quindi

in definitiva:

Spero non aver fatto errori.

[IsidoroKZ]

Non va. Hai scritto R1+R2, che vuol dire che R1 e` in serie ad R2.

QUando due bipoli sono in serie?

Prova a seguire questi passi

1) Come sono collegate R3 ed R4?

prendiamo queste due resistenze: insieme avranno un valore di resistenza R34.

2) Come sono collegate R34 ed R2?

Mettiamo insieme R34 ed R2: la resistenza totale la chiamo R234

3) Come sono collegate R1 ed R234?

[Londoneye]

in realtà ho sbagliato a scrivere, perché sul quaderno avevo fatto



è l'unico errore della resistenza equivalente?

[IsidoroKZ]

La resistenza equivalente vista dal condensatore, quella che serve per calcolare la costante di tempo, e` giusta.