ElectroYou - la comunità dei professionisti del mondo elettrico

da **banjoman** » 18 set 2017, 18:44

Mi ritrovo a ripassare alcune cosette studiate taaanti anni fa e come al solito ogni tanto mi "inceppo" (arteriosclerosi galoppante?).
Ho una cosinusoide di frequenza f_m

e la sottocampiono volutamente, per visualizzare cosa accade quando non si rispetta la condizione di Nyquist.

La cosinusoide nel dominio della frequenza sara' espressa come:
$S(f)=\frac{1}{2}[\delta(f-f_m)+\delta(f+f_m)]$
Sia f_s=1/T_s

la frequenza di campionamento. Con un campionamento ideale si ottiene:

$S_c(f)=\frac{1}{T_s}\sum_nS(f-nf_s)=\frac{1}{2T_s}\sum_n[\delta(f-nf_s-f_m)+\delta(f-nf_s+f_m)]$

Pongo volutamente $f_s=\frac{1}{2}f_m$ (sottocampiono a meta' della frequenza della sinusoide). Si ottiene allora:

$\frac{1}{2T_s}\sum_n[\delta(f-(n+2)\frac{f_m}{2})+\delta(f-(n-2)\frac{f_m}{2})=\frac{1}{T_s}\sum_n\delta(f-n\frac{f_m}{2})$

Il mio problema e' che non riesco a capire come si ottiene l'ultima espressione. Sono sicuro che mi sto perdendo in un bicchier d'acqua ma tant'e... :roll:

da **banjoman** » 19 set 2017, 11:03

Credo si debba ragionare cosi': abbiamo una sommatoria di coppie di delta simmetricamente disposte a

(n+2)fm/2

e

.

E' chiaro che la loro ampiezza e' identica (unitaria).

Allora

$\delta[f-(n+2)f_m/2]+\delta[f-(n-2)f_m/2] = 2\delta[f-(n-2)f_m/2]$

(per esempio)

Dato che la sommatoria si estende da meno inf a piu' inf, scrivere

$\sum_{-\infty}^{+\infty}2\delta[f-(n-2)f_m/2]$

equivale a dire

$\sum_{-\infty+2}^{+\infty+2}2\delta[f-(n-2)f_m/2]$

dove sfruttiamo la proprieta'

$\sum_{k = 1}^n a_k = \sum_{k=1+m}^{n+m}a(k-m)$

e' evidente che allora possiamo dire che alla fine,

$\sum_{-\infty+2}^{+\infty+2}2\delta[f-(n-2)f_m/2]=\sum_{-\infty}^{+\infty}2\delta[f-nf_m/2]$

Siete d'accordo col mio ragionamento?

da **gac** » 19 set 2017, 12:15

Provo a darti questa spiegazione, non so se sarà chiara.

$\sum_n \delta \left( f-\frac{n+2}{2}f_m \right) + \delta \left( f-\frac{n-2}{2}f_m \right) = \sum_n \delta \left( f-\frac{n+2}{2}f_m \right) + \delta \left( f-\frac{n+2-4}{2}f_m \right)$

quindi - sfruttando la linearità della sommatoria - si riscrive come

$\sum_n \delta \left( f-\frac{n+2}{2}f_m \right) + \sum_k \delta \left( f-\frac{k+2}{2}f_m + 2f_m \right)$

Ho usato una variabile k per la seconda sommatoria. Si può osservare che per k=n+4

le delta di dirac si sovrappongono perfettamente, per esempio con n=-2

e

si hanno due delta centrate in 0. Dal momento che i coefficienti della sommatoria sono infiniti, ci saranno infinite coppie sovrapposte, quindi puoi semplicemente trattare le sue sommatorie come il doppio di una delle due, ovvero

$\sum_n \delta \left( f-\frac{n+2}{2}f_m \right) + \sum_k \delta \left( f-\frac{k+2}{2}f_m + 2f_m \right) = 2 \sum_n \delta \left( f-\frac{n+2}{2}f_m \right)$

da **banjoman** » 19 set 2017, 13:18

Ottimo ma...proseguendo la tua esposizione, il risultato finale che io citavo all'inizio

$2\sum_n\delta(f-nf_m/2)$

in base a quale ragionamento/deduzione matematico viene ottenuto?

Possiamo dire forse che, essendo una sommatoria di infiniti termini

$2\sum_n\delta(f-\frac{(n+2)}{2}f_m)=2\sum_n\delta(f-nf_m/2)$

?

da **gac** » 19 set 2017, 13:25

Siccome n assume valori infiniti, l'offset può essere trascurato, tanto il treno di impulsi non cambia, nel senso che le frequenze a cui le delta si trovano sono le stesse, quindi

$2\sum_{n=-\infty}^{+\infty} \delta(f- \frac{n+2}{2}f_m) = 2\sum_{n=-\infty}^{+\infty}\delta(f-nf_m/2)$

da **banjoman** » 19 set 2017, 13:27

Abbiamo scritto nel medesimo istante.

Grazie per il tuo prezioso aiuto! :ok:

da **gac** » 19 set 2017, 13:31

Prego figurati O_/

Esatto, non avevo letto la modifica

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Campionamento ideale di una cosinusoide

[1] Campionamento ideale di una cosinusoide

[2] Re: Campionamento ideale di una cosinusoide

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