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Esercizio: Circuito Dinamico con Induttore

Circuiti, campi elettromagnetici e teoria delle linee di trasmissione e distribuzione dell’energia elettrica

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[1] Esercizio: Circuito Dinamico con Induttore

Messaggioda Foto Utentenoisemake » 10 nov 2017, 13:20

Salve ragazzi ho un problema con il seguente esercizio.

1.jpg


Valuto prima il circuito per t<0

Per t<0 il circuito è in regime stazionario e l'interruttore è chiuso quindi la tensione sull'induttore (che in regime stazionario posso considerare come un corto circuito ) è zero.

Per t>0

l'interruttore è aperto quindi R2 è in serie ad un c.a. ; in tal caso la resistenza equivalente vista da L è 1500 ohm quindi la costante tempo tau è tau=L/Req_L ottengo quindi che v(t)=K e^{-1,5x10^4 t} +Vlp.

Dove V_lp è una soluzione particolare di L, che assumo come la soluzione di regime per t->inf.

Anche in tal caso in regime stazionario L diventa un corto e quindi la tensione su L è nulla.

Per trovare K devo imporre la continuità della soluzione nell'origine, quindi v(0-)=v(0+) ma essendo entrambe nulle certamente ho sbagliato qualcosa.

Dove ? Grazie mille
Ultima modifica di Foto Utentemario_maggi il 11 nov 2017, 19:33, modificato 2 volte in totale.
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[2] Re: Circuito Dinamico con Induttore

Messaggioda Foto UtenteExodus » 10 nov 2017, 15:51

Prova in questo modo:

i\left ( 0^{-} \right )=\frac{1}{2}\frac{E}{R_{1}+\left ( R_{2}\parallel R_{3} \right )}
i\left ( \infty \right )=\frac{E}{R_{1}+R_{3}}
i\left ( 0^{-} \right )=i\left ( 0^{+} \right )
\tau =\frac{L}{R_{1}+R_{3}}
i\left ( t \right )=i\left ( \infty \right )+\left ( i\left ( 0^{+} \right ) -i\left ( \infty \right )\right )e^{-\frac{t}{\tau }}
v\left ( t \right )=L\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}i\left ( t \right )
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[3] Re: Circuito Dinamico con Induttore

Messaggioda Foto Utentenoisemake » 10 nov 2017, 16:32

Non mi è chiaro come hai ottenuto i(0-).
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[4] Re: Circuito Dinamico con Induttore

Messaggioda Foto UtenteExodus » 10 nov 2017, 16:43

Il calcolo della corrente stazionaria è semplice.
In pratica hai la R_{1} in serie con 2 resistenze in parallelo R_{2}\parallel R_{3} .
Prova a ridurre il circuito e calcolati la corrente in una delle due resistenze.
Essendo le due resistenze di ugaul valore ho semplicemente diviso per 2.
Se non digerisci la derivata, la tensione sull'induttore la puoi calcolare in questo modo:
v\left ( t \right )=\left ( R_{1}+R_{3} \right )\left ( i\left ( \infty  \right )-i\left ( 0^{+} \right ) \right )e^{-\frac{t}{\tau }}
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[5] Re: Circuito Dinamico con Induttore

Messaggioda Foto Utentenoisemake » 10 nov 2017, 19:28

Grazie mille ,l'ho risolto usando il tuo suggerimento iniziale trovando l'equazione generale di i(t) per l'induttore ed infine sapendo che v(t)=L\frac {di(t)}{dt} ottengo il risultato. :ok:
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[6] Re: Circuito Dinamico con Induttore

Messaggioda Foto UtenteIsidoroKZ » 11 nov 2017, 16:28

noisemake ha scritto:Per trovare K devo imporre la continuità della soluzione nell'origine, quindi v(0-)=v(0+) ma essendo entrambe nulle certamente ho sbagliato qualcosa.
Dove ?


Hai sbagliato nel fare subito i conti sulla tensione, in particolare imponendo che la tensione ai capi di L sia una funzione continua. Solo le variabili di stato, tensione su un condensatore e corrente in un induttore, hanno un grafico continuo, le altre no. La tensione su un induttore e la corrente in un condensatore possono benissimo avere dei salti.

Se proprio vuoi scrivere direttamente la tensione ai capi di L, devi sapere il valore finale della tensione (che e` zero), la costante di tempo e la tensione a t=0+.

Per calcolare la tensione a t=0+ e` facile: sostituisci alla L un generatore di corrente di valore pari a i_L(0^-), poi la tensione iniziale vale la tensione E meno la caduta di tensione su R1 ed R3 in serie attraversate dalla corrente imposta dal generatore di corrente.
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[7] Re: Esercizio: Circuito Dinamico con Induttore

Messaggioda Foto Utentegac » 12 nov 2017, 13:53

Formalizzando quanto scritto in [2] e [4], si può dire che in un circuito dinamico del primo ordine l'espressione da ricercare è sempre del tipo

x(t) = [x(0) - x(\infty)] \cdot \exp \left(-\frac{t}{\tau} \right) + x(\infty)

Anziché scrivere tutte le equazioni differenziali, è possibile stabilire un metodo sistematico:

    1) Condizione per t<0 su tensione ai capi del condensatore o corrente ai capi dell'induttore. Nell'esercizio proposto
    i_L(0^-) = \frac{R_2}{R_2 + R_3} \cdot \frac{E}{R_1 + (R_2 \parallel R_3)} = 88 \, \text{mA}

    2) Sapendo che v_C(t) e i_L(t) sono funzioni continue, sostituire il componente con un genatore indipendente di valore v_C(0) e i_L(0) per poter calcolare x(0), che è pari a
    x(0) = v_L(0) = E - i_L(0) \cdot (R_1 + R_3) = 88 \, \text{V}

    3) Calcolare x(\infty) sostituendo l'induttore con un cortocircuito o il condensatore con un circuito aperto (come richiesto dall'analisi a regime stazionario). Ovviamente in tal caso v_L(\infty) = 0 \,
 \text{V}

    4) Calcolare la resistenza equivalente vista dal componente con memoria per il calcolo della costante di tempo \tau. In questo esercizio R_{eq} = R_1 + R_3 = 1500 \, \Omega, quindi \tau =
 \frac{0.1 \, \text{H}}{1500 \, \Omega} = 66.7 \cdot 10^{-6} \text{s} = (1.5 \cdot 10^4)^{-1} \, \text{s}

    5) Metti tutto assieme
    v_L(t) = (88 - 0) \cdot \exp ( - 1.5 \cdot 10^4 \cdot t) + 0 \; \text{[V]} = 88 \cdot \exp (- 1.5 \cdot 10^4 \cdot t) \; \text{[V]}

Il vantaggio di questo approccio è che non richiede alcuna risoluzione dell'equazione differenziale (si suppone l'espressione già nota). Ovviamente se bisogna calcolare v_C(t) o i_L(t) il passaggio 2 è superfluo (per la continuità delle suddette funzioni ho già il valore dal passaggio precedente), mentre se bisogna calcolare i_C(t) o v_L(t) il passaggio 4 è superfluo (sono nulle).

Nell'ultima espressione ho inserito le unità di misura in parentesi quadre, ma formalmente non è corretto :mrgreen:
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[8] Re: Esercizio: Circuito Dinamico con Induttore

Messaggioda Foto UtenteIsidoroKZ » 12 nov 2017, 14:17

gac ha scritto:Nell'ultima espressione ho inserito le unità di misura in parentesi quadre, ma formalmente non è corretto :mrgreen:

Non è che non sia corretto, è proprio sbagliato! :-) Vedere qui
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