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Raggio della circonferenza passante per ottusangolo

Analisi, geometria, algebra, topologia...

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[1] Raggio della circonferenza passante per ottusangolo

Messaggioda Foto UtentePatras » 21 apr 2018, 19:01

Ciao a tutti! Vi chiedo di aiutarmi per favore con la risoluzione di questo problema. Forse è semplice ma al momento non riesco a farlo.
Nel caso di un triangolo ottusangolo iscritto, il centro della circonferenza che passa per i suoi vertici è esterno. Ma non riesco a trovare il raggio di questa circonferenza. Ho i dati riguardo ai lati del triangolo.

raggio.jpg


Ho cercato di fare un primo passo: il triangolo che ha per vertici il centro ed altri due del triangolo precedente, è isoscele e ha due lati che sono i raggi, e uno che è il lato di quello precedente.
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[2] Re: Raggio della circonferenza passante per ottusangolo

Messaggioda Foto Utentevenexian » 21 apr 2018, 19:26

Tri.png
Tri.png (18.16 KiB) Osservato 769 volte

Devi trovare i due punti M1, punto medio del segmento BC e M2, punto medio del segmento CA. Poi determini le due rette r1, perpendicolare a BC e passante per M1 e r2, perpendicolare a CA e passante per M2. L'intersezione di r1 e r2, punto P, è il centro cella circonferenza passante per A, B e C.
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[3] Re: Raggio della circonferenza passante per ottusangolo

Messaggioda Foto UtentePatras » 22 apr 2018, 0:20

Grazie per la risposta ma c'ero arrivato che le ortogonali ai lati sono anche mediane e che si intersecano nel centro. Quello che mi interessa è proprio il calcolo effettivo del raggio a partire dalla lunghezza dei lati del triangolo.

posso ovviamente farlo in maniera "analitica", fissando delle coordinate nel piano cartesiano per i vertici e cercando di trovare la varie pendenze dei lati e delle ortogonali, arrivo al punto di intersezione.
non è immediato come metodo, però nel mio caso è sempre possibile dato che comunque per gli argomenti che mi servono sono già sul piano cartesiano...

Ma sarebbe bello trovare qualche modo più veloce di tipo algebrico o geometrico... se esiste?
per trovare immediatamente la lunghezza del raggio
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[4] Re: Raggio della circonferenza passante per ottusangolo

Messaggioda Foto UtentePatras » 22 apr 2018, 1:46

sono riuscito a trovare la seguente formula, lati a,b,c e area A: r=\frac{abc}{4A}
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[5] Re: Raggio della circonferenza passante per ottusangolo

Messaggioda Foto Utentexyz » 22 apr 2018, 12:57

Dato un triangolo di lati a,b,c la sua area A si può calcolare con la formula di Erone:

https://it.wikipedia.org/wiki/Formula_di_Erone
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[6] Re: Raggio della circonferenza passante per ottusangolo

Messaggioda Foto UtentePatras » 22 apr 2018, 16:43

Grazie mille! non mi ricordavo più di questa formula, conoscendola quindi si può avere sempre il raggio cercato conoscendo i lati, per un qualsiasi triangolo.
in conclusione:

conoscendo i lati a,b,c di un triangolo
r=\frac{abc}{4A} dove A è l'area ricavabile con la formula di Erone
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[7] Re: Raggio della circonferenza passante per ottusangolo

Messaggioda Foto Utente6367 » 22 apr 2018, 19:43

La formula di Erone!

Mi ricordo che la dimostrazione era facoltativa.
Sembrava tanto complicate ma unico la portai all'interrogazione volontario e presi un bel voto.
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[8] Re: Raggio della circonferenza passante per ottusangolo

Messaggioda Foto UtenteEcoTan » 22 apr 2018, 20:10

Patras ha scritto:trovare la seguente formula, lati a,b,c e area A: r=\frac{abc}{4A}

Vuoi far vedere i passaggi?
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[9] Re: Raggio della circonferenza passante per ottusangolo

Messaggioda Foto Utentexyz » 22 apr 2018, 20:53

E' possibile utilizzando il software Geogebra per verificare la formula:

https://www.geogebra.org/

Allego anche il file per chi vuole provarlo.
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raggio_cerchio.zip
File Geogebra
(9.94 KiB) Scaricato 5 volte
centro_cerchio.png
Screenshot
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[10] Re: Raggio della circonferenza passante per ottusangolo

Messaggioda Foto UtentePatras » 22 apr 2018, 22:37

non so se posso inviare link qua, in ogni caso la fonte è :
https://www.mathalino.com/reviewer/deri ... rcumcircle

e questa è la dimostrazione:
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