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Come si risolve la seguente equazione con numeri complessi?

Analisi, geometria, algebra, topologia...

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[1] Come si risolve la seguente equazione con numeri complessi?

Messaggioda Foto UtenteDaniel521 » 4 apr 2019, 16:34

z^2 + ¡z + (1 + ¡)^8 -10 = 0

Qual è il procedimento per risolverla? Ho provato a farla parecchie volte ma mi ritrovo sempre in un punto in cui non riesco ad ottenere la forma canonica delle eqz di secondo grado.

Grazie in anticipo
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[2] Re: Come si risolve la seguente equazione con numeri comples

Messaggioda Foto UtenteDrCox » 4 apr 2019, 17:10

Prova ad esplicitare la parte reale ed immaginaria di z: z = z_{\Re} + j z_{\Im}
e vedi cosa salta fuori.

perché ti dico di fare questo?

Se scrivo la seguente equazione nelle variabili reali x,y:
x+j y = a + j b
con x, y, a, b numeri reali
ti è chiaro il fatto che da questa equazione ne consegue direttamente:
x=a, y=b
?
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[3] Re: Come si risolve la seguente equazione con numeri comples

Messaggioda Foto UtenteDaniel521 » 4 apr 2019, 17:46

Perdonami ma non sono riuscito a cogliere del tutto le operazioni mostrate sopra. Però, svolgendo l' equazione
sono riuscito ad arrivare a questo punto:
z^2 + iz +32i -10 = 0

Lo scopo è trovare i valori di z per cui l'equazione è verificata. Per fare ciò necessito della forma base:
az^2 + bz + c = 0

Cosa dovrei fare? grazie in anticipo
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[4] Re: Come si risolve la seguente equazione con numeri comples

Messaggioda Foto Utenteg.schgor » 4 apr 2019, 17:54

Daniel521 ha scritto:Cosa dovrei fare?

risolvere correttanente (1+j)^8
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[5] Re: Come si risolve la seguente equazione con numeri comples

Messaggioda Foto UtenteDaniel521 » 4 apr 2019, 18:06

Grazie veramente del suggerimento. Avevo sbagliato proprio là. Infatti ora (1+i)^8 mi viene 16 e il problema scompare.
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[6] Re: Come si risolve la seguente equazione con numeri comples

Messaggioda Foto UtentePietroBaima » 5 apr 2019, 10:16

Secondo me questi problemi sono utili per imparare un metodo, piuttosto che per imparare a fare calcoli a testa bassa.

Il problema è questo:

z^2+\text{j}z+(1+\text{j})^8-10=0

cosa mi da fastidio?

Due cose:

1. la j davanti a z

2. 1+j elevato alla ottava potenza.

Partiamo dal secondo punto.

Se elevo 1+j al quadrato ottengo 2j, perché (1+\text{j})^2=1+2\text{j}-1

quindi (1+\text{j})^4=2\text{j} \ 2\text{j}=-4

quindi (1+\text{j})^8=(-4) \ (-4)=16

quindi l'equazione è

z^2+\text{j}z+6=0

adesso veniamo al primo punto, il j di fronte alla z. Raccolgo un meno e riscrivo l'equazione in questa forma:

(\text{j} z)^2-(\text{j}z)-6=0

applico quindi la formula risolutiva delle equazioni di secondo grado:

\text{j}z_{1,2}=\frac{1\pm\sqrt{25}}{2}

z_{1,2}=-\text{j}\frac{1\pm5}{2}
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Io capisco le cose per come le scrivete. Per esempio: K sono kelvin e non chilo, h.z è la costante di Planck per zepto o per la zeta di Riemann e l'inverso di una frequenza non si misura in siemens.
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