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da **quapakko** » 6 apr 2020, 17:45

Detto $\vec r_0$ il vettore che individua la posizione di un punto

, ed $\vec r$ quello individuante la posizione di una carica elettrica infinitesima

, per i campi prodotti da distribuzioni volumiche, superficiali e lineari di carica si ha:
$\vec E(\vec r_0)=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int _\tau\rho(\vec r)\frac{\vec r_0-\vec r}{|\vec r_0-\vec r|^3}d\tau$
$\vec E(\vec r_0)=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int_\Sigma\sigma(\vec r)\frac{\vec r_0-\vec r}{|\vec r_0-\vec r|^3}d\Sigma$
$\vec E(\vec r_0)=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int_\lambda\lambda(\vec r)\frac{\vec r_0-\vec r}{|\vec r_0-\vec r|^3}dl$ .
Quando ne esprimo le coordinate cartesiane opero le sostituzioni $d\tau=dxdydz$ , $d\Sigma=dxdy$ e dl=dx

ma le funzioni di densità continuano ad essere funzioni delle tre variabili x,y,z

. Ad esempio
$E_x(x_0,y_0,z_0)=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int_\Sigma\sigma(x,y,z)\frac{x_0-x}{((x_0-x)^2+(y_0-y)^2+(z_0-z)^2)^\frac{3}{2}}dxdy$
Questo non significherebbe integrare solo su x e y non comprendendo la dipendenza di $\sigma$ e di $\vec r$ da z?
Premetto che non ho conoscenze di analisi 2.

Forse sbaglio nel porre $d\Sigma=dxdy$ e dl=dx

in quanto significherebbe considerare il caso particolare di superficie piana e linea retta contestualizzate in riferimenti in cui il piano xy coincide con la distribuzione superficiale e in cui l'asse x coincide con quella lineare.
Nel caso più generale avevo pensato di esprimere il

in questo modo:
$dl=\sqrt{dx^2+dy^2+dz^2}$
Il che mi porterebbe a:
$E_x(x_0,y_0,z_0)=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int_l\lambda(x,y,z)\frac{x_0-x}{((x_0-x)^2+(y_0-y)^2+(z_0-z)^2)^\frac{3}{2}}\sqrt{dx^2+dy^2+dz^2}$
E' corretto formalmente?
Se si come si può esprimere $d\Sigma$ in coordinate cartesiane?

da **lacoontfreed** » 6 apr 2020, 19:26

Nelle formule c'è confusione tra vettori e scalari
Nella formula
$E_x(x_0,y_0,z_0)=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int_{dydz}\sigma(x,y,z)\frac{x_0-x}{((x_0-x)^2+(y_0-y)^2+(z_0-z)^2)^\frac{3}{2}}dydz$

Troviamo l'andamento di E_x

in funzione di x del vettore E

la formula
$E_x(x_0,y_0,z_0)=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int_l\lambda(x,y,z)\frac{x_0-x}{((x_0-x)^2+(y_0-y)^2+(z_0-z)^2)^\frac{3}{2}}\sqrt{dx^2+dy^2+dz^2}$ E' sbagliata

da **quapakko** » 6 apr 2020, 19:42

lacoontfreed ha scritto:Nella formula
$E_x(x_0,y_0,z_0)=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int_{dydz}\sigma(x,y,z)\frac{x_0-x}{((x_0-x)^2+(y_0-y)^2+(z_0-z)^2)^\frac{3}{2}}dydz$

Troviamo l'andamento di in funzione di x del vettore E

Potresti spiegarmi meglio qual è il ragionamento dietro questa formulazione oppure dirmi da quale parte posso andare a leggere qualcosa?
So che questi integrali si svolgono sfruttando le simmetrie del problema e ricorrendo al principio di sovrapposizione ma vorrei sapere formalmente come si scrivono.
Grazie

da **lacoontfreed** » 6 apr 2020, 20:12

leggi conseguenze di Teorema di Fubini su wikipedia

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Distribuzioni continue di carica e variabili di integrazione

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