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Studio del limite con parametri variabili

Analisi, geometria, algebra, topologia...

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[1] Studio del limite con parametri variabili

Messaggioda Foto Utentequartz1799 » 8 apr 2020, 18:53

salve a tutti, sono uno studente di ingegneria e, per una base di matematica non proprio delle migliori, trovo problemi nella risoluzioni di limiti come questo.

\lim_{x \to \infty}\frac{\sqrt[3]{1+x^{2}+2x^{\alpha }}-\cos x}{x+x^{\alpha }}

con \alpha > 0

Il problema non è lo studio del limite, ma del suo studio legato al parametro alpha.
Sono arrivato alla soluzione (spero giusta) dell'esercizio a tentativi, dando cioè dei valori ad alpha e studiando il limite ogni volta, ma mi rendo conto che questo non è il metodo più corretto ne il più veloce.
Esistono dunque dei metodi che mi permettono di arrivare alla soluzione di limiti come questo senza dare arbitrariamente dei valori ad alpha o altri parametri che entrano in gioco?
Ad ogni modo il risultato da me trovato è:

\frac{1}{\sqrt[3]{x^{\infty}}}\Rightarrow 0

Ringrazio tutti già da ora per il tempo speso :D
Ultima modifica di Foto UtenteIanero il 8 apr 2020, 22:15, modificato 2 volte in totale.
Motivazione: Corretto titolo.
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[2] Re: studio del limite con parametri variaibili

Messaggioda Foto Utentefairyvilje » 8 apr 2020, 21:36

Perché trovi necessario dare un valore ad alpha per risolvere questo limite? Tra l'altro non puoi assegnare il valore di infinito ad \alpha non essendo un numero reale o naturale. Dovresti fare un limite di un limite e la cosa non viene richiesta/concessa. Prova a postare i passaggi che hai fatto :). La soluzione è più semplice di quello che ti aspetti.
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[3] Re: studio del limite con parametri variaibili

Messaggioda Foto UtenteIanero » 8 apr 2020, 21:55

\alpha è strutturale, non ha niente a che vedere con il limite in sé.
Quello che devi imparare a fare è solo trovare un modo per separare i casi che possono capitare quando \alpha spazia tra tutti i valori (fissati) che potrebbe assumere.
In questo caso nemmeno serve: perché?
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[4] Re: studio del limite con parametri variaibili

Messaggioda Foto Utentequartz1799 » 9 apr 2020, 19:44

fairyvilje ha scritto:Perché trovi necessario dare un valore ad alpha per risolvere questo limite? Tra l'altro non puoi assegnare il valore di infinito ad \alpha non essendo un numero reale o naturale. Dovresti fare un limite di un limite e la cosa non viene richiesta/concessa. Prova a postare i passaggi che hai fatto :). La soluzione è più semplice di quello che ti aspetti.


I passaggi che ho eseguito (spero corretti) sono i seguenti:
\alpha=1

\lim_{x\to\infty}\frac{\sqrt[3]{1-x^{2}+2x}-cosx }{x+x}\Rightarrow\lim_{x\to\infty}\frac{\sqrt[3]{x^{2}(\frac{1}{x^{2}}-1+\frac{2}{x})}-cosx }{2x}

\Rightarrow\lim_{x\to\infty}\sqrt[3]{\frac{x^{2}}{x}}\Rightarrow\lim_{x\to\infty}\frac{1}{\sqrt[3]x}\Rightarrow0


\alpha=2

\lim_{x \to \infty}\frac{\sqrt[3]{1+x^{2}}-cosx }{x+x^{2}}\Rightarrow\lim_{x \to \infty}\frac{\sqrt[3]{x^{2}}}{x^{2}}\Rightarrow\lim_{x \to \infty}\frac{1}{\sqrt[3]{x^{5}}}\Rightarrow0


i termini divisi per x tendono a 0, le costanti e il coseno li ho considerati ininfluenti per x\to\infty
Questi sono solo due esempi, io ne ho eseguiti altri con valori differenti. Comunque i passaggi sono praticamente uguali e (a scanso di errori commessi) al crescere di \alpha la
funzione tende sempre più velocemente a 0, quindi sono arrivato alla conclusione che per

\alpha>0

e

x\rightarrow\infty

la funzione tende a o più velocemente al crescere sia di \alpha che di x .

Non so se la soluzione da me trovata sia giusta o, almeno, se scritta nel modo corretto (il professore non ha dato la soluzione per questi esercizi)
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[5] Re: Studio del limite con parametri variabili

Messaggioda Foto Utentefairyvilje » 9 apr 2020, 21:52

Prova a riscrivere i passaggi mantenendo alpha all'interno dell'espressione :).
Fondamentalmente hai tre intervalli e due punti che ti interessa studiare. La soluzione numericamente non cambia, ma il modo in cui converge si.
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[6] Re: Studio del limite con parametri variabili

Messaggioda Foto Utentequartz1799 » 10 apr 2020, 16:58

Se mantengo il parametro alpha all'interno come posso studiare il limite però? Effettivamente (omettendo i passaggi precedenti) otterrei

\lim_{x \to \infty}\frac{\sqrt[3]{x^{\alpha }}}{x^{\alpha}}\Rightarrow\lim_{x \to \infty}x^{\frac{\alpha}{3}-\alpha}\Rightarrow\lim_{x \to \infty}\frac{{1}}{\sqrt[3]x^{2\alpha}}\Rightarrow0

ma eseguire le proprietà delle potenze su dei parametri che sono maggiori di 0 (e quindi, credo, possono essere assunti come infinito) non sarebbe una sorta di ""forma indeterminata""?
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[7] Re: Studio del limite con parametri variabili

Messaggioda Foto UtenteIanero » 10 apr 2020, 21:45

quartz1799 ha scritto:\lim_{x \to \infty}\frac{\sqrt[3]{1+x^{2}+2x^{\alpha }}-\cos x}{x+x^{\alpha }}

con \alpha > 0


Se ti posso dare un consiglio, riscrivi il tuo limite così:

\lim_{x \to \infty}\frac{x^{\alpha /3 }\sqrt[3]{\frac{1}{x^{\alpha }}+\frac{1}{x^{\alpha-2}}+2}-\cos x}{x+x^{\alpha }}\quad \text{quando}\; \alpha\geq 2

e così:

\lim_{x \to \infty}\frac{x^{2/3}\sqrt[3]{\frac{1}{x^2}+1+2\frac{1}{x^{2-\alpha }}}-\cos x}{x+x^{\alpha }}\quad \text{quando}\; \alpha<2


Ora trai le conclusioni.
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[8] Re: Studio del limite con parametri variabili

Messaggioda Foto Utentefairyvilje » 10 apr 2020, 22:42

In realtà introdurrei uno studio anche prima e dopo il punto 1. Questo per via di quello che accade sul denominatore. Ok non cambia niente alla fine dei conti, ma visto che è un esercizio "prototipo" valuterei anche questo aspetto visto che determina un cambio nel monomio col grado più alto.
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[9] Re: Studio del limite con parametri variabili

Messaggioda Foto UtenteIanero » 10 apr 2020, 23:26

Diventa un di più, perché basta che nota che 2/3 < 1, quindi nella seconda espressione del limite, qualunque sia \alpha <2, c'è già un x^1 al denominatore che abolisce il numeratore, indipendentemente da chi sia il monomio più alto al denominatore. :)
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[10] Re: Studio del limite con parametri variabili

Messaggioda Foto Utentequartz1799 » 11 apr 2020, 18:57

Ianero ha scritto:Se ti posso dare un consiglio, riscrivi il tuo limite così:
...
Ora trai le conclusioni.


Ho capito perché hai fatto questi passaggi, ma il risultato del limite non è comunque simile? Sia che \alpha \geq 2 o \alpha < 2 ottengo comunque un limite che tende a 0.
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