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esercizio sulle serie e successioni

Analisi, geometria, algebra, topologia...

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[1] esercizio sulle serie e successioni

Messaggioda Foto Utentequartz1799 » 27 apr 2020, 19:49

Salve a tutti, ho un "problema" con un esercizio svolto trovato su un video su youtube, che sembra anche di banale risoluzione
Il testo è il seguente:

\sum_{n=1}^{\infty}\ln(1+\frac{1}{n})

Prima di vederne lo svolgimento ho provato ad eseguirlo per conto mio e, semplicemente, sono arrivato alla conclusione che questa serie converge a 0 per n \to \infty.
Secondo i miei calcoli e passaggi otterrei infatti:

\lim_{n \to \infty}ln(1+\frac{1}{n})\rightarrow\lim_{n \to \infty}ln(1+0)\rightarrow ln(1)=0

Quindi andrei a sommare valori sempre più piccoli e tendenti a ln(1), quindi 0.


I passaggi eseguiti dall'autore del video (che ho compreso comunque senza alcun problema) portano però ad un risultato completamente opposto.
Vi espongo brevemente questi passaggi:

\sum_{n=1}^{\infty}\ln(1+\frac{1}{n})\rightarrow\sum_{n=1}^{\infty}\ln(\frac{n+1}{n})
\rightarrow\sum_{n=1}^{\infty}\ln({n+1})-\ln(n)

Sviluppando la sommatoria ottiene in fine il suo risultato:

\ln({n+1})

che, chiaramente, diverge a +\infty
Il problema è che non riesco a capire cosa ci sia di sbagliato nei miei passaggi che, secondo me, hanno un senso matematico e logico.
Ringrazio tutti per il tempo speso ad aiutare me e chi può avere simili dubbi. :D :D
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[2] Re: esercizio sulle serie e successioni

Messaggioda Foto UtenteEdmondDantes » 27 apr 2020, 19:53

Cerca serie telescopiche.
E poi dovresti ripassare il significato di successione delle ridotte e le definizioni di serie convergente, divergente e indeterminata. ;-)
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[3] Re: esercizio sulle serie e successioni

Messaggioda Foto Utentequartz1799 » 28 apr 2020, 17:59

So che quella è una serie telescopica, ho capito i passaggi che ha eseguito e perché è arrivato a quel risultato, ma mi sfugge perché i miei non sono giusti. Perché non posso agire direttamente sul testo ma devo svilupparla per forza? non dovrei arrivare al medesimo risultato?
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[4] Re: esercizio sulle serie e successioni

Messaggioda Foto UtenteEdmondDantes » 28 apr 2020, 18:43

quartz1799 ha scritto:ma mi sfugge perché i miei non sono giusti.


EdmondDantes ha scritto:E poi dovresti ripassare il significato di successione delle ridotte e le definizioni di serie convergente, divergente e indeterminata.


In aggiunta osserva sul tuo libro gli esempi sui limiti, in generale. I passaggi intermedi non si scrivono come hai fatto tu. ;-)
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[5] Re: esercizio sulle serie e successioni

Messaggioda Foto UtenteDuffr » 28 apr 2020, 19:50

quartz1799 ha scritto:...
sono arrivato alla conclusione che questa serie converge a 0 per n \to \infty.
Secondo i miei calcoli e passaggi otterrei infatti:

\lim_{n \to \infty}ln(1+\frac{1}{n})\rightarrow\lim_{n \to \infty}ln(1+0)\rightarrow ln(1)=0

Quindi andrei a sommare valori sempre più piccoli e tendenti a ln(1), quindi 0.
...


Penso sia sbagliato perché hai calcolato che il termine generale della serie, ln(1+\frac{1}{n}) per intenderci, é infinitesimo (per {n \to \infty} ), ma si tratta solo della verifica di una condizione necessaria, non é il risultato della somma!

Come del resto \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}: il termine generale é infinitesimo, ma la serie diverge (serie armonica)
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[6] Re: esercizio sulle serie e successioni

Messaggioda Foto Utentequartz1799 » 30 apr 2020, 18:36

Quindi dovrei in ogni caso trovare il risultato della serie ed agire su quella? Ma comunque non dovrebbero portare allo stesso risultato?
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[7] Re: esercizio sulle serie e successioni

Messaggioda Foto UtenteDuffr » 1 mag 2020, 12:49

Si, dovresti comunque cercare il risultato perché si tratta di una condizione sufficiente. Suggerisco la lettura di questo link, da una fonte attendibile: https://www.youmath.it/lezioni/analisi- ... auchy.html
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[8] Re: esercizio sulle serie e successioni

Messaggioda Foto Utentexyz » 1 mag 2020, 17:12

Puoi usare il criterio di convergenza dell'integrale:

https://it.wikipedia.org/wiki/Criteri_d ... 'integrale

Argomento della sommatoria è continuo, positivo e monotonicamente decrescente nell'intervallo della sommatoria. Il suo integrale:

\int {\log \left(1 + {{1}\over{n}}\right)}{\;dn} = \log \left(1+n\right)+\log \left(1 + {{1}\over{n}}\right)\,n + C

Per n \to \infty diverge, quindi la serie diverge
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[9] Re: esercizio sulle serie e successioni

Messaggioda Foto UtentePietroBaima » 1 mag 2020, 17:50

hey... non è detto che la serie converga se il limite per n che tende ad infinito del termine è zero, mentre è vero il contrario, cioè che la serie diverge se quel limite è non nullo!
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Io capisco le cose per come le scrivete. Per esempio: K sono kelvin e non chilo, h.z è la costante di Planck per zepto o per la zeta di Riemann e l'inverso di una frequenza non si misura in siemens.
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[10] Re: esercizio sulle serie e successioni

Messaggioda Foto Utentequartz1799 » 1 mag 2020, 18:41

Duffr ha scritto:Si, dovresti comunque cercare il risultato perché si tratta di una condizione sufficiente. Suggerisco la lettura di questo link, da una fonte attendibile: https://www.youmath.it/lezioni/analisi- ... auchy.html

Perfetto, grazie mille. Corro a vedere questo link
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