ElectroYou - la comunità dei professionisti del mondo elettrico

da **ElettroNewbie** » 20 mar 2021, 17:09

Salve a tutti!!!
Ho la seguente matrice:
$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & -1 \end{pmatrix}$
e dovrei calcolare la matrice esponenziale $e^{At}$
Io fatto in questo modo:il polinomio caratteristico associato alla matrice A risulta
$P_A(\lambda)=\lambda^3$
gli zeri di questo polinomio sono gli autovalori della matriceed in questo caso la matrice A possiede un unico autovalore $\lambda_1=0$ avente molteplicità algebrica pari a tre e molteplicità geometrica pari ad
$m_g=dim(ker(\lambda_1I-A))=n-rk[\lambda_1-A]=3-1=2$ (dove I è la matrice identità)
Siccome $m_g(\lambda_1)=2<m_a(\lambda_1)=3$ non viene ad essere soddisfatto il teorema sulla diagonalizzabilità e quindi la matrice A non è diagonalizzabile per similitudine.
Tuttavia si può procedere alla sua Jordanizzazione!
A questo punto leggendo sul libro e con gli appunti del prof e leggendo un po in rete sono riuscito a raffazzonare un procedimento (che poi sarebbe l'algoritmo per trovare gli autovettori generalizzati).

da **ElettroNewbie** » 20 mar 2021, 17:26

Ragazzi non riesco poiù a scrivere le formule

da **EdmondDantes** » 20 mar 2021, 17:27

Non sai scrivere lambda e non apri e chiudi correttamente le parentesi...

Stavo correggendo e hai cancellato tutto.

da **ElettroNewbie** » 21 mar 2021, 17:54

Salve!
Ciao EdmondDantes chiedo scusa per l'incomprensione..
Una domanda:ma per poter scrivere formule qui nel forum si usa latex giusto?Ma bisogno racchiudere il codice tra i tag

ma la sintassi rimane quella di latex?

da **EdmondDantes** » 21 mar 2021, 18:24

La sintassi e' la stessa, ma nel sito non sono implementate tutte le istruzioni possibili.

Uso di LaTeX sul forum

da **ElettroNewbie** » 21 mar 2021, 19:04

Ciao EdmondDantes :-)

Avrei la necessità di riportare una tabella,posso usare qualche comando di latex?
Nella pagina da te suggeritami non vi è nulla a riguardo.
Scusa se sto andanod un attimo offtopic prometto che ora proseguo con la giusta richiesta.

da **EdmondDantes** » 21 mar 2021, 19:27

Codice: Seleziona tutto: \begin{tabular}{|c|c|c|} \hline R1 & 10 & Prova \\ \hline R2 & 112 & Prova\\ \hline \end{tabular}

All'interno della tabella i pedici non funzionano.
Fine OT, speriamo.

da **ElettroNewbie** » 21 mar 2021, 20:53

Ciao EdmondDantes e grazie per l'aiuto.
Allora riprendo da dove avevo lasciato.Una volta trovato quegli alfa e in partricolare mi fermo quando ottengo un $\alpha_i=m_a(\lambda_1)$ mi costruisco la tabella seguente
$\begin{tabular}{|c|c|c|c|} \hline i & 1 & 2 \\ \hline $\alpha$ & 2 & 3 \\ \hline $\beta$ & 2 & 1 \\ \hline $\gamma$ & 1 & 1 \\ \hline \end{tabular}$

Poiché $\gamma_1=1$ avrò un vettore generalizzato di ordine 1 che darà luogo a una catena di lunghezza 1 ed $\gamma_2=1$ avrò un vettore generalizzato di ordine 1 che darà luogo aad una catena di lunghezza 2.
Avrò quindi una catena di jordan di lunghezza 1 ed una catena di lunghezza 2.
Premetto che io già così saprei scrivere la forma di jordan della matrice A e ricavare così la matrice esponenziale!!
Infatti essendo $m_g(\lambda_1)=2$ allora il numero di blocchi di jordan sarà pari a due ed la somma degli ordini di questi due blocchi deve essere pari alla $m_a(\lambda1)=3$ .E quindi si dovrà avere necessariamente un blocco di ordine 2 e l'altro di ordine1 sicchè 2+1=3 ottenendo la forma di jordan della matrice A
$\begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda_1 & 1 \\ 0 & 0 & \lambda_1 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$
Tuttavia il prof. vuole che ci ricaviamo prima la matrice jordanizzante(la chiamiamo marice modale) ossia la matrice che mi porta la matrice A nella forma di jordan.A tal fine costruisco la tabella di su...
Chiamo con ${v_1}$ la catena di lunghezza 1 ed con ${v_2,v_3}$ la catena di lunghezza 2.
Poi mi calcolo una base per ciascun autospazio generalizzato.
Per quanto riguarda la catena di jordan di lunghezza 1 ho un unico autospazio generalizzato e che coincide con l'autospazio ordinario:
$V_{\lambda1}^{1}=V \in \mathbb{R}^{3}|(\lambda_1\cdot I-A)\cdot v=0$
e trovo appunto una baser per questo autospazio generalizato di ordine1 ;trovare una base per questo autospazio equivale a risolvere il sistema seguente
$(\lambda_1 \cdot I-A)\cdot v=0$
il sistema lineare omogeneo che si ottiene ammette $\o o^{n-rk{A'}}=\o o^{2}$ dove A' è la matrice dei coefficienti del sistema e per trovarle assegno ad n-rk{A'}=1

incognite il ruolo di parametro libero.L'unico grado di libertà ce l'ho sull'incognita y e quindi le $\o o^{1}$ soluzioni sono
$(x,y,z)=(0,\alpha,0)=\alpha \cdot(0,1,0)$ con $\alpha \in \mathbb{R}$
Dunque la base cercata è
$V_{\lambda_1}^{1}=span(0,1,0)$
Per quanto riguarda la catena di jordan di lunghezza 2 ho 2 autosspazi generalizzati, uno di oridne 1 e l'altro di ordine 2.
Trovo una base per ciascuno di questi autospazi.
Prima di procedere,scusatemi se insisto,come faccio a scrivere un prodotto tra matrici con latex?EdmondDantes potresti darmi un altro link dove potermi informare su come scrivere la matematica con latex qui sul forum(nell'altro link alcune cose,come la mia richiesta ,non sono riportate)?

da **wall87** » 21 mar 2021, 23:58

ElettroNewbie Ho sistemato le formule che avevi scritto, non essendo sicuro di aver interpretato bene quello che volevi scrivere prova a darci un occhio e vedere se sono corrette.

Se vuoi un aiuto a scrivere le formule prova ad usare questo sito qui

Se vuoi fare il prodotto tra matrici basta che fai due matrici una dopo l'altra:
$\begin{pmatrix} 1 & 2\\ 3& 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 5 & 6\\ 7 & 8 \end{pmatrix}$

e il codice che ho usato è questo:

Codice: Seleziona tutto: \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 3& 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 5 & 6\\ 7 & 8 \end{pmatrix}

da **ElettroNewbie** » 22 mar 2021, 12:18

Salve!!
Ciao wall87 e grazie per l'aiuto.Si era proprio quello che avrei voluto scrivere,forse qulache punto occorre modificare, ad esempio dove avrei voluto comparisse il simbolo di infinito e in qualche altro punto mancano parentesi...Ma se volessi modificare quel post?non riesco a trovare la voce modifica :oops:

Ritorno sull'argomento:stavo trattando la catena di ordine 2 per la quale risultano du autospazi generalizzati, uno di ordine 1 e l'altro di ordine 2.
Trovo una base per questi due autospazi.
Per quanto riguarda l'autospazio generalizzato di ordine 1 è già stata determinata e cioè
$V_{\lambda_1}^{1}=span((0,1,0))$
Per quanto riguarda l'autospazio generalizzato di ordine 2:
$(\lambda{_1} \cdot I-A)^{2} \cdot v=0$
e cioè
$\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$
il sistema lineare omogeneo che ne scaturisce ammette $\infty ^{3}$ soluzioni e per trovarle assegno a tre incognite il ruolo di parametreo libero ottenendo
$(x,y,z)= \alpha (1,0,0)+ \beta (0,1,0)+ \gamma (0,0,1)$
una base per l'autospazio generalizzato di ordine 2 risulta allora
$V_{\lambda_1}^{2}=span((1,0,0),(0,1,0),(0,0,1))$
Scelgo v_3

tale che
$v_3 \in V_{\lambda 1}^{2},V_{\lambda 1}^{1}$
quindi
$v{_3}=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$
e poi
$v{_2}=(\lambda{_1} \cdot I - A) \cdot v{_3}=\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$
Le catene di jordan risultano allora essere:la catena di lunghezza 1
$v{_1}=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$
la catena di lunghezza 2 ,invece
$v{_2}=\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ ed
$v{_3}=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$
La matrice modale generalizzata(cioè la matrice jordanizzante ossia la matrice che mi porta la matrice A nella sua forma di jordan) risulta essere:
$V=\begin{pmatrix} v_1 | v_2 | v_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$
Trovo anche l'inversa di questa matrice
$V^{-1}\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$
La forma di jordan, $J{_A}=V^{-1} \cdot A \cdot V$ ,della matrice A risulta:
$J{_A}=V^{-1} \cdot A \cdot V=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$
Ora, stante che il procedimento sia corretto,ottengo un -1 sulla sovradiagonale del blocco avente ordine 2 invece che un ' +1 '.
Potete darmi dei chiarimenti sia sul procedimento sia sul risultato?

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calcolo matrice esponenziale

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