Implementazione sw di modello matematico

[Robi64]

Ho usato la trasformazione bilineare per portare nel tempo discreto (al fine di realizzare il tutto con un sw) la seguente T1(S) che descrive una posizione angolare

k / ((S^2 + 2*ξ*ω*S + ω^2) (mi spiace ho provato a scrivere con il latex ma non riesco)

La velocità angolare è descritta invece da quest'altra T2(S)

k*S / (S^2 + 2*ξ*ω*S + ω^2)

Tali formule in realtà le ho ricevute dal reparto che si occupa di tali moti dal punto di vista meccanico.
Lanciando il sw tutto sembra funzionare in maniera consistente, applico uno stimolo a gradino (ne posso provare anche altri) e mi pare che le evoluzioni sia della posizione che della sua velocità siano conformi alla teoria dei sistemi (ho a disposizione i trend nel tempo).
A prima vista direi che se la T2(S) è risultata moltiplicando la T1(s) per S dedurrei che il valore iniziale della posizione è stato valutato nullo (ho anche provato matematicamente e se non ho commesso errori nel limite il tutto torna).
Sto provando ad implementare l'accelerazione e qui vengono i problemi, cioè non trovo che ci sia consistenza fra le altre curve e l'accelerazione. Ho calcolato il valore iniziale della velocità e mi viene K.
Quindi la T3(S) dell'accelerazione mi viene, in Laplace,

( k*(S^2) / (S^2 + 2*ξ*ω*S + ω^2) ) - k

Dove sbaglio?

[Robi64]

Credo di aver capito cosa non mi tornava però vi chiedo conferma.
Se applico un ingresso a gradino ed "ovviamente" tale ingresso è una forza il valore all'istante 0 dell'accelerazione non è nullo ma vale a(0) = F(0) / m (F= m*a , F a gradino) nell'implementazione nel tempo discreto

[MarcoD]

Probabilmente è corretto, ho letto di fretta e ormai sono poco competente.
Dovresti tracciare uno schema a blocchi del modello evidenziando le integrazioni.
E' un controllo di posizione, con un regolatore integrale/proporzionale e un solo polo dovuto all'inerzia? Tieni conto dell'attrito viscoso?

Lustri fa calcolavo le integrazioni con la formula di Newton: Ui+1 = Ui + K x Ii x dt
scegliendo un intervallo di integrazione dt sufficientemente piccolo, gli errori di discretizzazione erano contenuti.
Calcoli di simulazione scritti in Basic.

[EcoTan]

Un gradino di posizione implica un impulso di velocità ed un doppio impulso di accelerazione. Niente di strano che i calcoli numerici si impallano con tutti questi Infiniti.

[Robi64]

Dovresti tracciare uno schema a blocchi del modello evidenziando le integrazioni.
E' un controllo di posizione, con un regolatore integrale/proporzionale e un solo polo dovuto all'inerzia? Tieni conto dell'attrito viscoso?

Ma guarda, lo schema a blocchi in questo caso è costituto dal solo modello matematico in anello aperto non altro.
In loop di regolazione invece, si controlla in realtà la sola velocità angolare.
Tuttavia ora mi si pone un altro problema.
Sempre in anello aperto, considero quindi le due sole T(S) del primo post. Le ho trasformate con la trasformazione bilineare. Per verifica del tutto ho applicato in ingresso al solo blocco con le due T(S) un gradino unitario cioè 1/S. Ho anti trasformato il tutto (tramite dei tool online) per avere le funzioni nel tempo continuo. Le ho graficate sia con excel , sia con un tool online che disegna le funzioni (desmos). I risultati coincidono (ovviamente ho impostato dei valori di omega e xsi).
Non coincidono invece con la mia simulazione. Ovvero nella mia simulazione in VC# le curve risultano praticamente dimezzate.
Ho provato allora a raddoppiare i parametri che, nelle formule discrete risultanti dalla trasformazione bilineare, moltiplicano i campioni (in n , n-1, n-2) dell'input al sistema ed allora tutto coincide.
Ho riguardato mille volte i passaggi che portano da Laplace a Z ma non riesco a vedere errori.
Non è che qualcuno magari ha voglia di prendere quelle T(S) per trasformarle con la bilineare per poter confrontare le formule. Oppure dato che si tratta di comunissimi sistemi del 2 ordine magari mi sapete dire che esistono in rete le formule che li discretizzano o ci sono dei tool che lo fanno.

[EcoTan]

Puoi scrivere la trasformazione bilineare che hai adoperato?

[GioArca67]

Penso Tustin:


La prima T(s) mi viene trasformata in


dove a=2*ξ*ω e b= ω^2
SE non ho fatto stupidate galattiche...

[EcoTan]

Ho anti trasformato il tutto (tramite dei tool online) per avere le funzioni nel tempo continuo.

Cioè hai antitrasformato una funzione di Z ?
Ai miei tempi queste cose non esistevano o non si studiavano (almeno per noi elettrotecnici) quindi di fronte a un caso pratico mi è venuto spontaneo puntare direttamente alla simulazione senza passare per la antitrasformazione. Ci ho fatto un articolo qui sul Blog, ti assicuro che l'unica cosa difficile (per me) è trovare un linguaggio di programmazione e tutto l'ambaradan per farlo funzionare, vuoi sul PC fuori linea o su una MCU in tempo reale.

[Robi64]

Puoi scrivere la trasformazione bilineare che hai adoperato?

Come scrive GioArca67 ho usato proprio Tustin

Quindi per quanto riguarda i coefficienti dell 'input nel discreto avremo quindi



Corretto?

Se così è mi ritrovo che in simulazione (VC# e PLC) con un k unitario ed un gradino unitario il trend ha i suoi massimi dimezzati (cioè in realtà è tutta dimezzata) rispetto a quelli ottenuti dopo l'antitrasformazione plottando la funzione sia in excel che con Desmos. I risultati coincidono se scrivo

cioè lascio inalterato il solo coeff. di x(n-1)
Adesso provo a plottare questa a sua volta con excel

[Robi64]

Ho anti trasformato il tutto (tramite dei tool online) per avere le funzioni nel tempo continuo.

Cioè hai antitrasformato una funzione di Z ?

Non Z bensi S che è più semplice dato che comunque generalmente sono tabellate e poi queste del 2 ordine sono le classiche che trovi tabellate ovunque. Poi ho anche trovato un sito che da S ti riporta in t. L'ho usato, l'ho confrontato con le tabelle e tutto torna (pare). Infatti ho graficato queste funzioni in t sia con excel che con Desmos ed i risultati coincidono. Cioè in Desmos scrivi proprio la f(t) e te la lascia scrivere parametrica con ξ e ω impostabili a piacere.
Per quanto riguarda la T(S) della posizione non della velocità, dato che al numeratore non c'è S, quando moltiplichi per 1/S non si elide la S per cui al DEN ti ritrovi un ... ecc ... per cui la tabella di antitrasformazione non la trovi facilmente. Ma il tool di antitrasformazione secondo me funziona perché le due curve posizione e velocità una volta graficate hanno le fasi a posto una rispetto all'altra, la v tende ad annullarsi mentre la pos. si attesta ad un valore che dipende dai parametri ... ecc..
Portarmi in Z con Tustin mi è servito per poi riportarmi nel tempo discreto con la classica corrispondenza
<--> n
<--> n-1
<--> n-2

ecc...