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Il collasso di tensione: la curva "a naso"

In questo articolo si riporta lo studio basico del fenomeno del collasso di tensione nei sistemi elettrici di potenza, con la stesura dello studio elettrotecnico associato alla curva a naso della linea stessa. Si vedrà, nei diagrammi successivi, la metodologia della tracciatura della curva stessa e lo studio nei casi di collasso.



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LA RETE ELETTRICA DI RIFERIMENTO

Si riporta la rete elettrica di riferimento del nostro studio del collasso di tensione.



In rosso il generatore, ed in verde l'impedenza, che rappresentano la rete elettrica equivalente (in tratteggio nero) vista dall'impedenza Zc presa in esame nel nostro studio, e studiata nel fenomeno di collasso.
Esprimiamo la tensione (è un fasore non uno scalare) ai capi del generatore di tensione sinusoidale:

E_p = (Z_c + Z_l) \cdot I

Tensione ai capi dell'impedenza in esame (fasore).

E_a = (Z_c) \cdot I


Si ricava la formula della corrente I che sperimenta l'impedenza Zc:

I =\frac{E_p}{\sqrt{(Z_l \cos\beta + Z_l \sin\beta)^2 + (Z_c \cos\phi + Z_c \sin\phi)^2}}

Riscriviamo quindi Ea come:

E_a =\frac{E_p}{\sqrt{(Z_l \cos\beta + Z_l \sin\beta)^2 + (Z_c \cos\phi + Z_c \sin\phi)^2}} \cdot Z_c

Riarrangiamo la formula sotto radice:

\sqrt{(Z_l \cos\beta + Z_l \sin\beta)^2 + (Z_c \cos\phi + Z_c \sin\phi)^2} =


 = Z_l \cdot \sqrt{1+\left (\frac{Z_c}{Z_l} \right )^2 + 2 \cdot \left ( \frac{Z_c}{Z_l} \right) \cdot \cos(\phi-\beta)}


La potenza elettrica assorbita dal carico Zc, si può scrivere con la seguente:

Pa = 3\cdot E_a \cdot I \cdot \cos\phi

e sostituendo in essa la I, la Ea e la parentesi riscritta otteniamo:

Pa = \frac{3 \cdot Z_c \cdot E_p^2 \cdot \cos\phi}{Z_l^2 \cdot (1+(\frac{Z_c}{Z_l})^2 + 2 \cdot (\frac{Z_c}{Z_l}) \cdot \cos(\phi-\beta))}

Nel caso fossimo nella situazione di carico adattato, la condizione è:

Zc = Zl

e la potenza sarebbe così riscritta:

 P_a =\frac{3 \cdot E_p^2 \cdot \cos\phi}{2 \cdot Z_l \cdot (1+\cos(\beta-\phi))}

Nel diagramma successivo si vede l'andamento del rapporto I / Icc e della quota di tensione del carico Ea relativa al valore Ep della rete, in funzione dell'impedenza relativa Zl / Zc.

Si noti come il diagramma di sopra mostri come la corrente I che transita la Zc aumenti al diminuire di Zc stessa ( o se vogliamo all'aumento del rapporto Zl/Zc); viceversa per la tensione: al diminuire (RELATIVO A Zl!!!) di Zc, la tensione Ea cala relativamente sulla tensione Ep (o se vogliamo, la tensione Ea diminuisce all'aumento dell'impedenza di linea).

LA CURVA A NASO

La potenza assorbita dall'utenza Zc è, come sappiamo, sostanzialmente il prodotto di una variabile estensiva come la tensione ed una intensiva come la corrente. Molteplici sono in natura le analogie: in ogni sistema energetico o energivoro chessia si possono individuare queste due variabili, spesso denominate anche come variabile qualitativa ( tensione, entalpia, altezza geodetica, forza....) e variabile quantitativa ( corrente, portata, velocità..). Quindi, nel nostro caso, data una potenza, essa può essere data dalla combinazione di tensione e corrente, e quindi di tensione relativa (Ea/Ep) e di corrente relativa (I/Icc), riferiti entrambi alle condizioni limite Ep ed Icc (I di cortocircuito).
Allora possiamo avere i seguenti casi, come illustrato in figura:


Come si vede lo stesso ammontare di potenza istantaneamente assorbito o prodotto dall'utenza, può esser dato da due diversi valori di tensione e corrente.

 P_1 = \propto E_1'\cdot I_1' = E_1'' \cdot I_1''

 P_2 = \propto E_2' \cdot I_2' = E_2'' \cdot I_2''

e quindi

 Pa/Pmax = \propto (E_a/E_p)•(I/I_{cc})

e così via per altri valori di potenza maggiori e minori rispettivamente di P1 e P2, ed ovviamente anche per i valori tra P1 e P2.
Si può così tracciare sullo stesso diagramma l'andamento della potenza assorbita/prodotta dall'utenza in funzione del rapporto Zl/Zc.


Nel successivo diagramma andiamo a tracciare la curva chiamata "a naso" per la sua forma (immagino ??), che vede il rapporto di tensione Ea/Ep vs Pa.


Ogni punto di questa curva, ossia ogni valore di potenza dell'asse delle ascisse Pa, è individuato graficamente, andando a segnare i valori di potenza relativi ad un dato valore del rapporto di tensione Ea/Ep. Quindi, per un dato Pa corrispondono due valori di Ea/Ep, tranne nel caso di Pmax, dove è unico. Da grafico alcuni esempi.

COLLASSO DI TENSIONE


Definiamo queste tipologie di utenze elettriche: dati Po e Qo nominali, esprimiamo le potenze ( attiva e reattiva) come

 P = P ( K, V )\quad e\quad quindi  \quad P = Po•K•(V/Vo)^\alpha\quad  con\quad \alpha = 0,7 - 1,5
 Q = Q ( K, V )\quad e \quad quindi  \quad Q = Qo•K•(V/Vo)^\beta\quad  con\quad \beta  = 1,5 - 3


e rappresentabili, con ovvio significato delle variabili, nel seguente diagramma.


Unendo la curva a naso con la caratteristica delle utenze, supponiamo per α>1 otteniamo il seguente diagramma


Questo diagramma parla chiaro. La curva a naso è la curva del SISTEMA ELETTRICO, e assieme abbiamo la curva delle utenze (verdi e rossa). Supponiamo di lavorare nel punto A. In quel caso, il sistema fornisce una data potenza ad una data tensione Ea/Ep. Ad un aumento di impedenza vista dalla rete, ci si sposta verso il punto B e così fino al punto C, dove il sistema risponde con un aumento di potenza all'utenza a scapito di una riduzione di tensione relativa alla stessa utenza. In questi casi il sistema riesce a fornire la maggiorazione di potenza richiesta dall'utenza senza problemi. Da notare ( agli occhi dei meccanici è forse più intuibile..), che la curva a naso, nella sua parte superiore ha andamento negativo con la variabile INTENSIVA (in questo caso relativa); questo è un segnale di stabilità intrinseca del sistema. Arrivati al punto di incrocio della curva a naso con la tratteggiata blu, ci troviamo nelle condizioni in cui il sistema è alla sua massima potenza. Ad una eventuale richiesta di potenza ulteriore del carico, il sistema risponde diminuendo ancora la tensione, ma portandoci nella parte inferiore della curva, la potenza diminuisce. Il sistema collassa, in quanto, non vedendo che riesce a supplire alla richiesta di potenza, tenta di diminuire la tensione ma in questa zona ad essa corrisponde una ulteriore diminuzione di potenza (punto W). Notare come la parte instabile abbia pendenza positiva con la variabile intensiva.

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Commenti e note

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di ,

Buonasera, complimenti per l'articolo, è molto utile per riflettere su cosa serve la curva a naso. Volevo confrontarmi con chi è più esperto, ma la Zc non dovrebbe diminuire secondo la freccia? Me lo spiego osservando che all'arrivo (o sul carico, tanto la rete può essere sempre modellata con Thevenin), quando Zc tende a zero, la tensione Ea si annulla così come la potenza attiva, quindi la curva a naso passa per l'origine. Quando Zc tende all'infinito, la tensione sul carico (o all'arrivo) è uguale a quella in partenza (quindi diversa da zero) e la potenza in arrivo è a zero...

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di ,

Veramente complimenti per l'articolo. Volendo essere pignoli sull'italiano dell'articolo ci sarebbero troppe frasi subordinate qua e là. In particolare nel penultimo capoverso: "Il sistema collassa, in quanto, non vedendo che riesce a supplire alla richiesta di potenza, tenta di diminuire la tensione ma in questa zona ad essa corrisponde una ulteriore diminuzione di potenza (punto W)" . La frase non è scritta correttamente. :-)

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di ,

Solo ora ho avuto il tempo di leggero con calma. Molto interessante, grazie!

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di ,

Grazie badilant! Mah, guarda, sinceramente la storia del nome non la conosco.. Tutto quello riportato sull'articolo è frutto dei miei studi universitari.. in effetti non c'è moltissimo su internet, e la applicazioni dello studio fatto ha molte sfaccettature non trattate in questo caso, che ne vuole premiare solo una stesura generale...

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di ,

Molto interessante. Solo alle ultime battute ho capito perchè la chiamano curva a naso!

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