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Una particella che vibra oscillando, comandata da una forza di richiamo puo' per esempio essere un elettrone che si avvicina e si allontana dal nucleo atomico e nel suo movimento puo' assumere diversi stati di energia. Una trattazione di tipo quantistico puo' darci evidenza matematica di questo fenomeno. Ricordiamo un elettrone che vibra e' responsabile dei fenomeni d'irradiazione del campo elettromagnetico a lunghezze d'onda dello stesso ordine di grandezza dell' l'oggetto irradiante. L'articolo dopo una prima stesura e' stato abbastanza modificato per renderlo di piu' semplice comprensione e lettura ed e' scaturito da una delle varie lezioni universitarie, che si sono tenute all'universita' di Roma nell'a.a. 2006-2007. Per i polinomi di Hermite si consulti la letteratura matematica, che ne e' nutritissima.

Trattazione quantistica

Una particella nel suo moto oscillatorio possedere energia potenziale e cinetica. Poiché siamo in meccanica quantistica, andiamo a vedere il suo Hamiltoniano corrispondente.

$\hat H = \frac{\hat p}{2m} + \frac{1}{2} K \hat x^2$

in cui $\hat H, \hat p, \hat x$ sono gli operatori associati agli osservabili energia totale, quantita' di moto e posizione, mentre K e' la costante elastica dell'oscillatore. Poiche' $\hat p = ih\frac{\rm{d}}{\rm{d}x}$ ed $\hat x = x$ , si puo' costruire l'equazione di Schoendinger , indipendente dal tempo e stazionaria $\hat H\psi(x)=E\psi(x)$ . Sostituendo si ottiene:

$\frac{\rm{d}^2 u(x)}{\rm{d}x^2} + \frac{2 m}{\hbar}(E-\frac{K x^2}{2}) u = 0$ ,

equazione monodimensionale, supponendo che la vibrazione sia nella direzione delle x.

In base a delle relazioni, che derivano dalle trasformate di Fourier, si ha:

$\frac{d^2u}{dx^2} = -4 \pi^2 \int_{-\infty}^{\infty} \eta^2 \tilde{u}(\eta)exp( 2 \pi i \eta x) \rm{d}\eta$
$x^2 u(x) = -\frac{1}{4 \pi^2} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{d^2 \tilde{u}}{d \eta^2} exp( 2 \pi i \eta x ) \rm{d} \eta$

Sostituendo nell'equazione differenziale si ottiene:

$- 4 \pi^2 \eta^2 \tilde{u} + \frac{2 m E}{\hbar^2}\tilde{u} + \frac{Km}{4 \pi^2 \hbar^2} \frac{d^2 \tilde{u}}{d \eta^2} = 0$

relazione che ha la stessa forma di quella di provenienza, prima di fare le sostituzioni.

Le soluzioni sono quelle che si autoriproducono sotto trasformazione di Fourier e tra queste funzioni ci sono i polinomi Hermite - Gauss, di cui la piu' semplice e' la gaussiana. Per l'appunto prendiamo una forma della forma $u 0 (x) = A e x p ( - α x 2)$ con A, $α$ > 0.

sostituendo in questa ultima equazione differenziale, si ottiene:

$A(-2 \alpha + 4 \alpha^2 x^2 + \frac{2 m E}{\hbar^2} - \frac{mK}{\hbar^2} x^2)exp(-\alpha x^2)$

Affinche' valga questa uguaglianza deve essere:

$\alpha=\frac{m E}{\hbar^2}$
$4 \alpha^2= \frac{m K}{\hbar^2}$

Si ricava dunque:

$\alpha=\frac{\sqrt{m K}}{2 \hbar}$

L'energia relativa a questo stato fondamentale, descritto dall'autofunzione $u 0 (x)$ e' pari a

$E=\frac{1}{2}\hbar\sqrt{\frac{K}{m}}=\frac{1}{2}\hbar\omega$

dove $ω$ e' la pulsazione dell'oscillatore, relazione che si ottiene dai moti armonici in fisica classica.

Il valore di A si ottiene normalizzando l'integrale della densita' di probabilita' per la posizione, ossia:

$\int_{-\infty}^{\infty}|u(x)|^2 \rm{d}x = A^2 \int_{-\infty}^{\infty}exp(-2 \alpha x^2) \rm{d}x=A^2\sqrt{\frac{\pi}{2 \alpha}}=1$

risultando alla fine

$A=\sqrt{\frac{2 \alpha}{\pi}}$

Questo procedimento e' stato fatto per l'autofunzione di ordine zero, per gli ordini superiori l'equazione differenziale sofddisfa i polinimi di Hermite-Gauss di qualunque ordine e l'autofunzione prende la forma di:

$u_n = A_n H_n(x \sqrt{2 \alpha} )\cdot exp(-\alpha x^2)$

per n=1,2...ecc.

Imponendo la normalizzazione, si trova $A n$ e quindi si ha:

$u_n (x)= \sqrt[4]{\frac{2 \alpha}{\pi}} \frac{1}{\sqrt{2^n n!} } H_n(x \sqrt{2 \alpha}) exp(- \alpha x^2)$

con i livelli di energia pari a:

$E_n=(n+\frac{1}{2}) \hbar \omega$

Esistoni quindi infiniti autostati con energia che variano a partire da un livello fondamentale per n=0, detta energia minima di punto zero. Il fatto che l'energia minima non sia nulla per lo stato fondamentale, porta alla concordanza con il principio d'indeterminazione, perche' ad ogni livello n non si sa perfettamente quanto valgano precisamente la posizione x e la quantita' di moto p. SE fossero determinate, esse dovrebbero essere entrambe zero. Si puo' dimostrare che il prodotto delle indeterminazioni $Δ x$ e $Δ p$ ha come valore minimo $\frac{\hbar}{2}$

Se scriviamo la densita' di probabilita' allo stato zero per la posizione x, come:

$|u_0 (x)|^2 = A^2 exp[-\frac{x^2}{2(\Delta x)^2}]$ , si vede che normalizzando risulta:

$\Delta x=\frac{1}{2 \sqrt{\alpha}}$

La trasformata di Fourier per la d.d.p. dell'impulso si ottiene dividendo per $\hbar$ il modulo quadro della trasformata di Fourier di $u 0 (x)$ . Si ricorda che la trasformata di $e x p ( - α x 2)$ e' proporzionale ad $exp(-\frac{\pi^2 \eta^2}{\alpha})$ , per cui la d.d.p dell'impulso e' proporzionale a $exp(-\frac{2 \pi^2 p^2}{\alpha \hbar^2})$

ed eguagliando

$exp (-\frac{p^2}{2 \Delta p^2}) = exp (-\frac{2 \pi^2 p^2}{\alpha \hbar^2})$

Si ricava che

$\Delta p = \hbar\sqrt{\alpha}$

e

$\Delta x \cdot \Delta p = \frac{\hbar}{2}$

Le d.d.p.calcolate in modulo, piu' n e' elevato e piu' approssimano l'andamento parabolico deterministico.

Si osservino, per l'appunto le 3 figure sottostanti (Rif.: Università' degli studi di Padova, anno 2011, Corso di Chimica Fisica II, Prof.ssa Maria Brustolon, 7. L'oscillatore quantistico).

Fig.1. Funzioni d'onda e densita' di probabilita'

Fig.2. Livelli energetici di densita' di probabilita'

Fig.3. Rappresentazione delle d. d. p. All'aumentare di n, approssimanti la parabola deterministica

Appendice

I polinimi di Hermite

Si distinguono due differenti tipi di polinomi di Hermite che sono entrambi equivalenti e ricavabili l'uno dall'altro con formule di carattere generale. Riportamo solo quelli che arrivano a n = 10. Si distinguono in polinomi probabilistici:

$H E 0 (x) = 1$
$H E 1 (x) = x$
$H E 2 (x) = 4 x 2 - 1$
$H E 3 (x) = x 3 - 3 x$
$H E 4 (x) = x 4 - 6 x 2 + 3$
$H E 5 (x) = x 5 - 10 x 3 + 15 x$
$H E 6 (x) = x 6 - 15 x 4 + 45 x 2 - 15$
$H E 7 (x) = x 7 - 21 x 5 - 105 x 3 - 105 x$
$H E 8 (x) = x 8 - 28 x 6 + 210 x 4 - 420 x 2 + 105$
$H E 9 x) = x 9 - 36 x 7 + 378 x 5 - 1260 x 3 + 945 x$
$H E 1 0(x) = x 1 0 - 45 x 8 + 630 x 6 - 3150 x 4 + 4726 x 2 - 946$

ed in polinomi fisici:

$H E 0 (x) = 1$
$H E 1 (x) = 2 x$
$H E 2 (x) = 4 x 2 - 2$
$H E 3 (x) = 8 x 3 - 12 x$
$H E 4 (x) = 16 x 4 - 48 x 2 + 120 x$
$H E 5 (x) = 32 x 5 - 160 x 3 + 15 x$
$H E 6 (x) = 64 x 6 - 480 x 4 + 720 x 2 - 120$
$H E 7 (x) = 128 x 7 - 1344 x 5 - 3360 x 3 - 1680 x$
$H E 8 (x) = 256 8 - 3584 x 6 + 13440 x 4 - 13440 x 2 + 1680$
$H E 9 x) = 512 x 9 - 9216 x 7 + 48384 x 5 - 30240 x 3 + 1680 x$
$H E 1 0(x) = 1024 x 10 - 23040 x 8 + 161280 x 6 - 403200 x 4 - 302400$

L'oscillatore armonico classico

Un particella che vibra attorno ad un punto centrale, che e' l'origine in posizione x, puo' assumersi avente una legge di spostamento di tipo dinusoidale del tipo:

$x = A s i n (ω t + φ)$

dove A e' l'elongazione, $φ$ la fase iniziale per t=0 ed $ω$ la pulsazione legata alla frequenza, con la relazione

$ω = 2π f$

Una vibrazione rispetto ad un punto centrale e' possibile perche esiste in qualche modo una forza di richiamo, che tende a riportare la particella verso l'origine. Per questo l'equazione dinamico - fisica di questo moto e' data da:

$-Kx = m\frac{d^2 x}{dt^2}$

dove K e' la costante elastica di moto armonico data da

$K = m ω 2$

Poiche la forza -Kx e' il gradiente del potenziale (assumiamo di stare in campo conservativo) ne risulta che l'energia potenziale relativa a questo moto oscollatorio vale

$E_p = \frac{1}{2} K x^2$

mentre l'energia cinetica e'

$E_c = \frac{p^2}{2 m} = \frac{1}{2} m v^2 = \frac{1}{2} m A^2\omega^2 cos(\omega t + \phi)$ .

Conoscendo l'espressione di x e dopo una valutazione di una proprieta' trigonometrica, si ottiene che l'energia totale di un oscollatore armonico classico vale

$E_t =\frac{1}{2} m \omega^2 A^2 = \frac{1}{2} K A^2$

Ossia, l'energia di una particella che si muove di moto armonico, a causa di una forza di richiamo e' proporzionale al quadrato dell'ampiezza massima.

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L'oscillatore armonico quantistico.

Indice

Trattazione quantistica

Appendice

I polinimi di Hermite

L'oscillatore armonico classico

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