Per chi non dovesse accontentarsi di soluzioni ingegneristicamente approssimate, come quelle ottenute con il risolutore di excel, nel risolvere un sistema di equazioni non lineari, ecoo pronto un efficace algoritmo, che proviene dall'analisi numerica. Il metodo generalmente converge, dopo un sufficiente numero d'iterazioni.

Teoria

Un sistema di n equazioni non lineari ad n incognite, puo' essere rappresentato come una matrice, i cui elementi sono dati dalle che equazioni del sistema.

dove X e' il vettore delle incognite.

Per esempio, se abbiamo un sistema di due equazioni in due incognite, come

x₁ + 2x₂ − 2 = 0

si ha

La F(X) si può sviluppare in serie di Taylor come:

F(x) = F(x)(x₀) + F^'(x₀)(x − x₀)

Da questa relazione, e' possibile estrarre la relazione iterativa:

x_{k + 1} = x_k − [F^'(x_k)] ^{− 1}F(x_k)

dove F'(x) non e' altro che la matrice Jacobiano, formata dalle derivate parziali della matrice F(X).

L'algoritmo e' di tipo ricorsivo matriciale e se ne calcola la relazione ricorrente:

F^'(x_k)h_k = − F(x_k)

con h_k = x_{k + 1} − x_k

Un esempio numerico

Riprendendo il sistema rappresentato in precedenza, otteniamo, imponendo come punto iniziale x₀ = (1,2)

mentre lo Jacobiano (derivate parziali in x₁ex₂ degli elementi della F(X) vale:

Vale la relazione ricorsiva:

Quindi:

Con il nuovo valore di x₁, si ricalcolano F(X) ed F'(X), arrivando a calcolare x₂ e cosi' via.