Transitori con Laplace

[Nico89]

Effettivamente cose del genere non le ho mai viste..

Ma sono passaggi "obbligatori" per affrontare la risoluzione dei transitori tramite laplace?

[dimaios]

Ti fornisco una risposta generale.
Quando hai a che fare con un sistema dinamico che varia repentinamente la struttura interna hai di fronte una commutazione da un set di equazioni differenziali ad un altro.
In qualche modo bisogna "raccordare" temporalmente le soluzioni ( cosa è successo prima e cosa succede dopo ).
Per fare questo scrivi le relazioni fra le grandezze cercando di ricavare cosa succede prima e dopo la commutazione.
Nel caso in oggetto hai una variazione a gradino della corrente in quanto lo impone la topologia del circuito prima e dopo la commutazione ; è un comportamento specifico del circuito oggetto di studio.

Si possono presentare tanti casi ma non dipendono dal fatto che usi la trasformata di Laplace come metodo risolutivo.

Per risolvere un'equazione differenziale, per esempio quella che descrive l'andamento temporale dopo la commutazione, bisogna imporre delle condizioni al contorno.
Queste condizioni sono legate a tensioni , correnti e relative derivate all'istante successivo alla commutazione ..... praticamente il punto di partenza dal quale si genera l'andamento futuro della tua variabile.

Prova ad Immaginare questo ....
L'equazione differenziale finale avrà dei coefficienti incogniti che ricaverai dalle condizioni al contorno.
Le condizioni al contorno le hai ricavate facendo le dovute considerazioni sul circuito in esame.
A partire dall' istante non ti serve avere più memoria di quanto accaduto prima della commutazione in quanto dalla condizione inziale e dalla forma generale della soluzione dell'equazione differenziale otterrai l'andamento futuro della grandezza in esame.

Non confondere la metodologia che utilizzi per risolvere le equazioni differenziali (es. trasformata di Laplace ) con i procedimenti che servono per trovare le condizioni al contorno.

Trovare le corrette condizioni al contorno è un problema difficile e delicato che sarai costretto ad affrontare nell'ambito della risoluzione delle equazioni differenziali. Se in futuro lavorerai con gli elementi finiti ( calcolo FEM ) ti accorgerai subito che la fonte primaria di errori risiede in un'errata imposizione delle condizioni al contorno.

[RenzoDF]

Effettivamente cose del genere non le ho mai viste..

Ma sono passaggi "obbligatori" per affrontare la risoluzione dei transitori tramite laplace?

Senza conoscere le condizioni iniziali per t=0+ negli induttori di destra, come fai a modellarli laplacianamete?

[g.schgor]

La domanda è: c'è una regola che permetta di fissare le condizioni iniziali
senza ricorrere alle equazioni differenziali?
(dovrebbe essere il duale di condensatori in parallelo, di cui uno carico,
che cede carica agli altri..)

[Nico89]

Effettivamente cose del genere non le ho mai viste..

Ma sono passaggi "obbligatori" per affrontare la risoluzione dei transitori tramite laplace?

Senza conoscere le condizioni iniziali per t=0+ negli induttori di destra, come fai a modellarli laplacianamete?

Io ho considerato che inizialmente i due induttori avessero una corrente nulla, e facendo poi un partitore di tensione ho risolto correttamente l'esercizio...

Se poi è stata "fortuna" è un'altra cosa!

La domanda è: c'è una regola che permetta di fissare le condizioni iniziali
senza ricorrere alle equazioni differenziali?
(dovrebbe essere il duale di condensatori in parallelo, di cui uno carico,
che cede carica agli altri..)

Esatto, c'è una regola?

[g.schgor]

Per ricavare le condizioni iniziali delle correnti che
percorrono i 3 induttori all'atto dell'apertura del contatto,
penso si possa seguire questo ragionamento:
Un induttore di induttanza L. percorso da
una corrente i, ha un accumulo di energia
magnetica pari a .
All'istante t=0 questa si ripartisce sui 3 induttori
(il primo in serie al parallelo degli altri 2).
Poiché nel nostro caso l'induttanza è la stessa per
tutti 3, l'induttanza globale equivalente è ,
quindi la corrente che percorre la serie risulta : ,
cioè: e ovviamente 20A per ciascuna
di quelle in parallelo.
Abbiamo così i valori iniziali per applicare Laplace.

[dimaios]

Il bilancio di energia è sempre una valida alternativa. Mi sembra una buona idea.

[g.schgor]

Già, una buona idea.., ma rileggendo quanto ho scritto
mi accorgo che non ho considerato il quadrato..!

[RenzoDF]

Il bilancio di energia è sempre una valida alternativa. Mi sembra una buona idea.

Come nel caso dei condensatori si conserva l'impulso di corrente (la carica) e non l'energia, nel caso degli induttori si conserva l'impulso di tensione (il flusso) e non l'energia.

[dimaios]

RenzoDF hai ragione. Resta comunque il dubbio se sia possibile perseguire una strada alternativa per ricavare le correnti dopo l'apertura dell'interruttore.
Grazie per il chiarimento.