ElectroYou - la comunità dei professionisti del mondo elettrico

da **pippob** » 20 mar 2012, 22:14

Ciao a tutti,
sto preparando l'esame di elettrotecnica, e mi sto esercitando sui circuiti con memoria.

Spesso faccio gli esercizi ma nn so se sono corretti o meno, nn essendoci molto materiale svolto in giro.

Potreste dare uno sguardo a questo esercizio e dirmi se lo svolgimento è corretto? poi sono arrivato ad un punto che nn saprei antitrasformare LOL

ESERCIZIO SVOLTO

Grazie mille

da **DirtyDeeds** » 20 mar 2012, 22:23

I link a siti esterni qui non sono graditi, soprattutto quando contengono scansioni di appunti difficilmente comprensibili. Disegna il circuito con Fidocadj e scrivi il tuo svolgimento con le formule in LaTeX: vedrai che la risposta arriverà ;-)

da **pippob** » 20 mar 2012, 23:39

Ciao DirtyDeeds, ti dirò che a me non sembra poco comprensibile...alla fine ci sono pochi calcoli. Perderei mezza giornata per scrivere tutta la domanda per un check di 5 minuti

da **dimaios** » 21 mar 2012, 0:08

pippob ha scritto: ..... Perderei mezza giornata per scrivere tutta la domanda per un check di 5 minuti

PROBLEMA

Dato il seguente circuito

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

Nel quale sono noti i seguenti dati :

$V_{g} = 20 V$
L = 0.125 H

$R = 1 \Omega$
C = 0.2 F

Si calcoli l'andamento temporale della tensione $V_{L}$ ai capi dell'induttore dopo la chiusura all'istante t=0

dell'interruttore.

Tempo impiegato per comporre lo schema in FidoCadJ : 4 min 37 s
Tempo impiegato per scrivere il testo : 5 min 3 s

Totale < 10 min.

Nel forum ci sono iscritti che lo farebbero sicuramente in meno tempo.

Comunque :

1. Mancano i valori iniziali $i_{L}(0^{-})$ e $v_{c}(0^{-})$ prima della chiusura dell'interruttore.
2. Meglio dedicare mezza giornata per illustrare il problema ed ottenere una risposta oppure struggersi nel dubbio di non avere la soluzione corretta ? .... questione di carattere.

da **pippob** » 21 mar 2012, 0:33

Ciao, grazie per aver illustrato il problema. Guardate io nn volevo e non voglio assolutamente fare polemica e il vostro ragionamento ci sta tutto..quindi la prossima volta sicuramente farò così..

ciò che volevo dire prima è che avendo già fatto lo screen e avendolo postato, gli si poteva dare un'occhiata e poi dirmi: mi raccomando però la prossima volta utilizza gli strumenti idonei perché sono più ordinati e indicizzazano meglio :mrgreen:

comunque tornando all'esercizio ho dimenticato di dire che la carica è nulla sia per L che per C :ok:

da **dimaios** » 21 mar 2012, 2:50

Se ho ben capito hai difficoltà nell'antitrasformare la funzione :

$F(s) = \frac{20 s + 100}{ s^{2} + 5 s + 40}$

Innanzitutto dividiamo il problema in problemi più semplici.
Isoliamo le parti come segue :

$F(s) =20 \cdot \left[\frac{1}{5} \frac{5 \cdot s}{ s^{2} + 5 s + 40} + \frac{5}{ s^{2} + 5 s + 40} \right]$

A questo punto, visto che il denominatore delle due frazioni è identico ed anche il numeratore è stato reso uguale moltiplicando e dividendo la prima per 5, cerchiamo di sfruttare la seguente proprietà :

$\mathcal{L}^{-1} \left[ \frac{\omega}{(s + \sigma)^{2} + \omega^{2}} \right] = e^{-\sigma t} \cdot \sin( \omega t)$

Per fare questo scrivi la frazione in questo modo

$\frac{5}{ s^{2} + 5 s + 40} \right] = \frac {5} { \frac{ 3 \sqrt{15}}{2} } \cdot \frac{ \frac{3 \sqrt{15}}{2} }{ \left(s + \frac{5}{2} \right)^{2} + \left( \frac{3 \sqrt{15}}{2} } \right)^{2} } \right]= \frac {2 \sqrt{15}} { 9 } \cdot \frac{ \frac{3 \sqrt{15}}{2} }{ \left(s + \frac{5}{2} \right)^{2} + \left( \frac{3 \sqrt{15}}{2} } \right)^{2} } \right]$

Da cui si evince che $\sigma = \frac{5}{2}$ e $\omega =\frac{3 \sqrt{15}}{2}$ .

Antitrasformiamo la seconda frazione.

$\mathcal{L}^{-1} \left[ \frac {2 \sqrt{15}} { 9 } \cdot \frac{ \frac{3 \sqrt{15}}{2} }{ \left(s + \frac{5}{2} \right)^{2} + \left( \frac{3 \sqrt{15}}{2} } \right)^{2} } \right] \right] = \frac {2 \sqrt{15}} { 9 } \cdot e^{-\frac{5}{2} t} \cdot \sin\left( \frac{3 \sqrt{15}}{2}t \right)$

A questo punto si nota che, a meno del $\frac{1}{5}$ davanti alla prima frazione, le due sono identiche tranne per il fatto che la prima è moltiplicata per la variabile complessa

.

Per la proprietà delle trasformate:

$\mathcal{L} \left[ \frac{df(t)}{dt} \right] = sF(s) - f(0)$

Se f(0) = 0

si può concludere che :

$\mathcal{L}^{-1} \left[ sF(s) \right] = \frac{df(t)}{dt}$

Ovvero l'antitrasformata della prima frazione è la derivata della funzione temporale precedentemente trovata ( a parte il fattore $\frac{1}{5}$ ).
Quindi la funzione nel tempo relativa alla prima frazione è la derivata della funzione trovata precedentemente antitrasformando la seconda frazione ( ovviamente moltiplicata per $\frac{1}{5}$ ).

$\frac{d}{dt} \left[\frac{1}{5} \cdot \frac {2 \sqrt{15}} { 9 } \cdot e^{-\frac{5}{2} t} \cdot \sin\left( \frac{3 \sqrt{15}}{2}t \right)\right] = \frac{1}{9} e^{-\frac{5}{2}t} \left( \sqrt{15}\sin\left( \frac{3 \sqrt{15} }{2} t \right) - 9 \cos \left( \frac{3 \sqrt{15} }{2} \right) t \right)$

Sommando i risultati e moltiplicando per 20 il totale ( coefficiente davanti alla parentesi quadra delle frazioni ) si ha il risultato :

$f(t) = \frac{20}{9}e^{-\frac{5}{2}t} \left[ \sqrt{15}\sin\left( \frac{3 \sqrt{15} }{2} t \right) + 9 \cos \left( \frac{3 \sqrt{15} }{2} t \right) \right]$

Riassumo i passaggi :

1. Si vede che la funzione nel dominio della trasformata di Laplace è scomponibile in due parti
2. La seconda frazione è antitrasformabile dopo averla ricondotta ad una forma nota
3. La prima frazione può essere antitrasformata sfruttando la proprietà che lega la moltiplicazione per la variabile s nel dominio della Laplace trasformata con la derivazione della funzione nel tempo ( attenzione alle condizioni iniziali ).
4. Per la linearità dell'operatore trasformata ed antitrasformata si ricompongono le varie parti moltiplicandole per i rispettivi coefficienti.

da **RenzoDF** » 21 mar 2012, 11:13

pippob ha scritto:Ciao DirtyDeeds, ti dirò che a me non sembra poco comprensibile...

A noi invece si :!:

pippob ha scritto:...alla fine ci sono pochi calcoli. Perderei mezza giornata per scrivere tutta la domanda per un check di 5 minuti

Vuoi dire che il tempo possiamo perderlo noi a capire e non tu a chiarire?

Mi dispiace che

dimaios ti abbia risposto, a mio parere dopo questa tua replica, il post meritava di essere cestinato.

da **pippob** » 21 mar 2012, 13:00

Grazie dimaios :)
quindi il procedimento da me seguito fino all'antitrasfromata è corretto?

Per l'antitrasformazione conoscete questa formula?:(ho utilizzato latex, ma non so come mettere il codice e/o le immagini)

$\mathcal{L}^{-1} \left[ \frac{\\Bs + C}{s^2 + as + b} \right] = Ae^{-\sigma t} \cdot \cos( \omega +\varphi ) u_{-1}(t)$

$\mathcal{L} \left[ Ae^{-\sigma t} \cdot \cos( \omega +\varphi ) u_{-1}(t) \right] = A \frac{s \cos\varphi + \sigma\cos\varphi-\omega\sin\varphi}{s^2+2\sigma s + \sigma^2 + \omega^2}$

da **dimaios** » 21 mar 2012, 15:23

pippob ha scritto:.....quindi il procedimento da me seguito fino all'antitrasformata è corretto?

Per dirlo dovresti scrivere il ragionamento che hai fatto per ricavare le correnti/tensioni sugli elementi con memoria all'istante $0^{+}$ .
Pubblica le considerazioni ed i passaggi algebrici in latex.

pippob ha scritto: Per l'antitrasformazione conoscete questa formula?

Manca la dipendenza di $\omega$ $\varphi$ e $\sigma$ dai coefficienti dei polinomi a,b,B,C

( vorrei evitare di dover confrontare l'argomento della trasformata con il risultato dell'antitrasformata e risolvere il sistema di equazioni per ricavarla da quanto hai scritto ).
Pubblica il riferimento e la relazione tra tali grandezze.

Una formula analoga la puoi trovare nel documento http://www.vibrationdata.com/math/Laplace_Transforms.pdf ( equazione 2.31 ).

da **pippob** » 21 mar 2012, 16:13

$V_{g} = 20 V$
L = 0.125 H

$R = 1 \Omega$
C = 0.2 F

Si calcoli l'andamento temporale della tensione V_{L} ai capi dell'induttore dopo la chiusura all'istante t=0 dell'interruttore. La tensione in C ed L è nulla.

PROCEDIMENTO:
1) trasformo nel circuito fittizio di laplace, ottenendo i nuovi valori:

$\frac{V_{g}}{s} = 20/s$
$sL = \frac{s}{8}$
R = 1

$\frac{1}{sC} = \frac{5}{s}$

2) sommo la resistenza R e il condensatore $\frac{1}{sC}$ come fossero due resistenze in parallelo:

$Z = R // \frac{1}{sC} = \frac{R * \frac{1}{sC}}{R + \frac{1}{sC}} = \frac{\frac{5}{s}}{1 + \frac{5}{s}} = \frac{5}{s+5}$

3) rimangono solo l'induttore sL e Z (cioè resistenza R e Condensatore sommati)
quindi sommo anche queste due, induttore e Z per ricavarmi la corrente nel circuito:

$V_{g} = (sL + Z)I_{s} => I_{s} = \frac{V_{g}}{sL + Z} = \frac{20}{\frac{s}{8} + \frac{5}{s+5}} = \frac{20*8*(s+5)}{s^2 + 5s + 40}$

4) adesso avendo sia il valore della corrente su sL, che il valore di sL...posso calcolare la tensione V = I*R:

$V_{L} = I_{s} * sL = \frac{20*8*(s+5)}{s^2 + 5s + 40} * \frac{s}{8} = \frac{20s+100}{s^2+5s+40}$

Che ne dite?

spero di non aver tralasciato qualcosa o fatto cavolate varie :P

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Circuito con trasformata Laplace

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