ElectroYou - la comunità dei professionisti del mondo elettrico

da **RenzoDF** » 21 mar 2012, 16:22

Usando metodi un po' piu' "moderni" infatti

: 2012-03-21_152326.gif (24.39 KiB) Osservato 1711 volte

BTW non * in Latex nelle moltiplicazioni , usa il simbolo di prodotto per es. $20\times 8$ .

da **pippob** » 21 mar 2012, 16:31

Perfetto...quindi adesso posso antitraformare (giusto?)
il prof nelle sue dispense ha scritto sta formula di cui vi parlavo che ad occhio sembra breve e potente...ma l'ho capita al 50% LOL...se mi permettete ve la posto a mo di immagine

Non ho capito la parte nel rettangolo sotto...cosa mi rappresenta la "A" e come si ricava $\varphi$ ?

: laplace.jpg (207.55 KiB) Osservato 1698 volte

da **Lele_u_biddrazzu** » 21 mar 2012, 16:50

Ti è stato già detto di usare LaTeX per ler formule e fidocadJ per i disegni, inoltre le immagini allegate vanno inserite in linea con il testo :!:

da **pippob** » 21 mar 2012, 17:06

Ho visto che renzo ha postato un'immagine...pensavo che nn dovessi postare appunti scritti di pugno..

da **dimaios** » 21 mar 2012, 17:16

pippob ha scritto:..... il prof nelle sue dispense ha scritto sta formula di cui vi parlavo che ad occhio sembra breve e potente...ma l'ho capita al 50% LOL...se mi permettete ve la posto a mo di immagine
Non ho capito la parte nel rettangolo sotto...cosa mi rappresenta la "A" e come si ricava $\varphi$ ?

Ti invito cortesemente ad attenerti un minimo all'ordine formale sia per quanto riguarda i procedimenti che la stesura dei post. Sei quasi giunto alla conclusione dell'esercizio, è un peccato non capitalizzare quanto discusso.
Detto questo procedo con la spiegazione.

Se leggi il post [9] vedrai che la soluzione era già stata indicata.

Infatti se prima antitrasformi e poi ritrasformi secondo Laplace dovresti ottenere il medesimo risultato.

$\mathcal{L}^{-1} \left[ \frac{\\Bs + C}{s^2 + as + b} \right] = Ae^{-\sigma t} \cdot \cos( \omega +\varphi ) u_{-1}(t)$

$\mathcal{L} \left[ Ae^{-\sigma t} \cdot \cos( \omega +\varphi ) u_{-1}(t) \right] = A \frac{s \cos\varphi + \sigma\cos\varphi-\omega\sin\varphi}{s^2+2\sigma s + \sigma^2 + \omega^2}$

Confrontando le due versioni trovi le relazioni tra i coefficienti.

$\frac{\\Bs + C}{s^2 + as + b} = A \frac{s \cos\varphi + \sigma\cos\varphi-\omega\sin\varphi}{s^2+2\sigma s + \sigma^2 + \omega^2}$

Ovviamente questa procedura fornirà le relazioni tra i coefficienti ma non ti indica la strada che è stata percorsa per trovare la formula. Questo potrebbe essere un esercizio interessante da svolgere.

NOTA :

RenzoDF ha allegato un'immagine della simulazione con un software di calcolo ( Maxima ). Per le formule e gli schemi è consuetudine ( regola ) utilizzare LaTeX e FidoCadJ.

NOTA : Nella soluzione non hai indicato ancora le condizioni all'istante $0^{+}$ e come le hai ricavate. Non è un dettaglio ma un presupposto fondamentale per giungere alla conclusione corretta indipendentemente dai calcoli algebrici che hai svolto.

da **pippob** » 21 mar 2012, 17:36

Dimaios innanzitutto ti ringrazio per la tua cortesia. Credimi, non era mia intenzione infrangere regole varie..pensavo che l'immagine di una formula nn scritta a mano fosse comunque ammessa...cercherò di nn fare errori :ok:

Tornando a noi:
- Per quanto riguarda le condizioni iniziali, ovvero la tensione ai capi di C ed L, questa è nulla.
- Ho letto il post 9, ma infatti fino li ci sono arrivato, alla corrispondenza tra $a, b, B, C$ ..i conti non tornano quando devo fare gli ultimi due passaggi della formula, ossia:

$A*cos\varphi = B$
$A*(a*cos \varphi - \omega sin \varphi) = C$

Non riesco a capire come ricavare $\varphi$

PS: è proprio figo questo forum, in particolare mi piace il sitema di votazione, gli avvisi sui voti ricevuti e le medagliette assegnate LOL

da **dimaios** » 21 mar 2012, 17:56

Partiamo da queste

$A \cdot (a \cdot \cos \varphi - \omega \sin \varphi) = C$
$A \cdot \cos\varphi = B$

Dividi membro a membro le equazioni :

$a - \omega \tan \varphi= \frac{C}{B}$

Da cui si ottiene :

$\varphi = atan \left[ \frac{1}{\omega} \left( a - \frac{C}{B} \right) \right]$

Attenzione perché il primo passaggio è lecito a patto che :

$A \cdot \cos\varphi \not= 0$ e $B \not= 0$

da **RenzoDF** » 21 mar 2012, 18:15

A me sembra inutilmente complesso andare a ricordare tutte quelle relazioni per antitrasformare, io risolverei "alla vecchia maniera" semplificando in modo da poter utilizzare solo le antitrasformate fondamentali delle funzioni cisoidali, scrivendo

$\frac{s+5}{s^{2}+5s+40}=\frac{\left( s+\frac{5}{2} \right)+\frac{5}{2}}{\left( s+\frac{5}{2} \right)^{2}+\left( \frac{3\sqrt{15}}{2} \right)^{2}}=$

e sempificando come

$\frac{\left( s+\frac{5}{2} \right)}{\left( s+\frac{5}{2} \right)^{2}+\left( \frac{3\sqrt{15}}{2} \right)^{2}}+\frac{5}{3\sqrt{15}}\cdot \frac{\frac{3\sqrt{15}}{2}}{\left( s+\frac{5}{2} \right)^{2}+\left( \frac{3\sqrt{15}}{2} \right)^{2}}$

per poi antitrasformare

$e^{-\frac{5}{2}t}\cos \left( \frac{3\sqrt{15}}{2}t \right)+\frac{5}{3\sqrt{15}}e^{-\frac{5}{2}t}\sin \left( \frac{3\sqrt{15}}{2}t \right)$

se poi si vuole mettere la somma sottoforma di unica funzione trigonometrica c'e' sempre il solito trucco ;-)

da **pippob** » 21 mar 2012, 18:50

Siete 2 genii del male ;)

GRAZIE MILLE

Diamaios scusami, un'altra cosa...nel tuo post numero [6] non ho capito questo passaggio:
$\frac{5}{ s^{2} + 5 s + 40} \right] = \frac {5} { \frac{ 3 \sqrt{15}}{2} }\cdot \frac{ \frac{3 \sqrt{15}}{2} } {(s + \frac{5}{2})^2 + { (\frac{3 \sqrt{15}}{2} )^2}} = \frac{ 2 \sqrt{15}}{9} \cdot \frac{ \frac{3 \sqrt{15}}{2} } {(s + \frac{5}{2})^2 + { (\frac{3 \sqrt{15}}{2} )^2}}$

e più precisamente non ho capito come si arriva

da $\frac {5} { \frac{ 3 \sqrt{15}}{2} }$ a $\frac{ 2 \sqrt{15}}{9}$

da **dimaios** » 21 mar 2012, 19:21

Tramite la razionalizzazione del radicale.

$\frac {5} { \frac{ 3 \cdot \sqrt{15}}{2} } = \frac{10 }{3 \sqrt{15}}} = \frac{10 \sqrt{15}}{3\sqrt{15}\sqrt{15}} = \frac{10 \sqrt{15}}{45} =\frac{2 \sqrt{15}}{9}$

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Circuito con trasformata Laplace

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