Raggiungibilità e Osservabilità

[Nico89]

Salve a tutti, sto avendo alcune difficoltà nel discutere la raggiungibilità e osservabilità di un sistema.

Supponendo di conoscere le matrici A,B,C,D del sistema, la raggiungibilità dovrebbe esprimersi come:



Invece l'osservabilità dovrebbe essere



Con n la lunghezza del vettore di stato.

Dal testo so che per esere raggiungibile:
-la matrice di raggiungibilità deve avere rango pari a n
-se il sistema ha un solo ingresso la cns è che il determinante della matrice sia diverso da zero

e invece per essere osservabile:
-la matrice di osservabilità deve avere rango pari a n
-se il sistema ha una sola uscita la cns è che il determinante della matrice sia diverso da zero


Tuttavia questa procedura col calcolo di prodotti tra matrici, ranghi e determinanti può essere abbastanza lunga, soprattutto durante un esame che dura due ore..

Quindi, ci sono altri metodi per discutere raggiungibilità e osservabilità, senza questa procedura?
Lo chiedo perché ho notato che il prof nelle soluzioni dichiara che il sistema è osservabile e raggiungibile, senza spiegazione.

Grazie a tutti

[IsidoroKZ]

Puoi fare quella procedura "ad occhio".

Prendi l'equazione di una variabile di stato (scalare), in pratica una riga del sistema Ax+Bu. Se B e` diverso da zero in una certa riga, vuol dire che la variabile di stato descritta da quella riga e` raggiungibile, perche' B diverso da zero dice che l'ingresso u agisce direttamente sulla xpunto di quella riga.

Se invece una riga ha B=0 (o la riga della matrice B tutta nulla), allora gli ingressi non agiscono direttamente su quella variabile di stato. Pero` potrebbero agire indirettamente: ad esempio la variabile x2 non e` raggiungibile direttamente dagli ingressi, ma solo da x3 e x4. A loro volta pero` x3 o x4 potrebbero essere raggiungibili dagli ingressi, e cosi` facendo il giro attraverso la matrice A si controlla x2.

Potrebbe anche capitare che x3 e x4 non siano raggiungibili direttamente dagli ingressi (il corrispondente B e` tutto nullo), ma dipendono da x1 e x1 ha B diverso da zero...

Questo corrisponde a calcolare B, AB, A^2B per vedere solo le dipendenze (c'e`/non c'e`) senza fare tutti i conti,

Discorso analogo per l'osservabilita`: bisogna vedere se una variabile di stato riesce ad agire subito, o facendo qualche giro, su Y.

[Nico89]

Quindi se ho:

il sistema è raggiungibile, se invece

il sistema non è raggiugibile, stessa cosa per il vettore C.
Ho capito bene?

EDIT: rileggendo bene ho capito che anche con parametri nulli dei vettori B e C, il sistema potrebbe essere raggiungibile e osservabile, ma non ho capito come verificarlo..

[Nico89]

Quindi per esempio per il sistema

Il vettore B ha un elemento nullo nella prima riga, ma essendo la prima variabile dipendente dalla seconda variabile che risulta raggiungibile (il suo parametro nel vettore B non è nullo), tutto il sistema risulta raggiungibile.
Giusto?

[IsidoroKZ]

Si`, giusto (almeno credo). Non avevo voglia di scrivere le equazioni , evviva che le hai scritte tu!

[Nico89]

Fantastico, ora si che è fattibile come cosa

Invece l'ultima cosa che non ho chiara è la BIBO stabilità, perhè nel libro c'é una definiZione che non spiega come valutarla..
Si può valutare "a occhio" anche questa??

[premiere]

Ciao se il sistema in esame è LTI (lineare-tempo invariante) questo è stabile BIBO o esternamente se e solo se la funzione di trasferimento del sistema ha tutti i poli a parte reale negativa.
Dove ovviamente per poter applicare questa definizione devi avere una rappresentazione esterna ingresso/uscita , cioè la funzione di trasferimento W(s).

[Nico89]

Esatto, quindi cosa cambia tra stabilità interna ed esterna se le condizioni sono le stesse?

[premiere]

Ciao in base alle mie conoscenze posso dirti che:

1) Un sistema LTI è stabile BIBO o esternamente se e solo se la f.d.t. del sistema ha tutti i poli a parte reale negativa.

2)Un sistema LTI è internamente:

-Asintoticamente stabile se e solo se tutti i modi propri di evoluzione del sistema sono convergenti e quindi se e solo se tutti gli autovalori della matrice dinamica sono a parte reale negativa

-Stabile se e solo se gli autovalori della matrice dinamica sono a parte reale non positiva e quelli a parte reale nulla hanno molteplicità pari ad uno come radici del polinomio minimo

-Instabile se e solo se almeno uno degli autovalori della matrice dinamica è a parte reale positiva oppure a parte reale nulla e con molteplicità maggiore di uno come radice del polinomio minimo

NOTA: Nel caso di sistemi completamente controllabili e osservabili i poli del sistema e gli autovalori della matrice dinamica coincidono, per cui la stabilità BIBO e quella asintotica si equivalgono.

[Nico89]

Grazie