ElectroYou - la comunità dei professionisti del mondo elettrico

da **alexlovesusa** » 6 ago 2012, 16:44

Salve a tutti. Sto studiando teoria del segnali e c'è un capitolo che parla dei filtri concentrandosi specialmente sulle trasformate di Fourier e cose del genere. Tra i tanti, c'è un esempio che riporta questi due circuiti che rappresentano rispettivamente un filtro passa banda e uno elimina banda :

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Quello che non mi è per niente chiaro è il funzionamento di questi due circuiti. perché il primo è un filtro passa banda e il secondo elimina banda? Come funzionano in termini di correnti e tensioni che vi circolano? #-o

Inoltre vengono date queste due formule di risposta in frequenza dei rispettivi circuiti che non capisco da dove vengono :
$H_{\frac{L-C}{BP}}=\frac{jQ^{-1} f/f_0}{1 - (f/f_0)^2 + jQ^{-1} f/f_0}$ e
$H_{\frac{L-C}{BR}}=\frac{1-(f/f_0)^2}{1 - (f/f_0)^2 + jQ^{-1} f/f_0}$ .

Inoltre vengono presentate queste altre due formule sempre relative ai due circuiti : $2\pi f_0=1/\sqrt{LC}$ e $1/Q=2\pi f_0 L/R$ .

Qualche aiutino perfavore?? :cry:

da **rusty** » 6 ago 2012, 18:02

Prendendo in considerazione il filtro passabanda passivo, le impedenze divengono:

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

$Z_C = - \jmath \frac{1}{\omega C}$ impedenza del condensatore
$Z_L = \jmath \omega L$ impedenza dell'induttore

Proseguendo calcoliamo l'impedenza del parallelo dei due, e successivamente calcoliamo la tensione in uscita con la semplice regola dei partitori di tensione:

$Z_p = \frac{\frac{L}{C}}{\jmath (\omega L - \frac{1}{\omega C})} = -\jmath \frac{\frac{L}{C}}{\frac{\omega ^2 LC -1}{\omega C}}=-\jmath \frac{\omega L}{\omega ^2 L C -1} = \frac{\jmath \omega L}{1 - \omega ^2 L C}$
$V_O = V_I \frac{Z_p}{R + Z_p}$

Funzione di trasferimento:

$\frac{V_O}{V_I} = \frac{Z_p}{R + Z_p}$

$\frac{V_O}{V_I} = \frac{Z_p}{R + Z_p} = \frac{\frac{\jmath \omega L}{1-\omega ^2 L C}}{R + \frac{\jmath \omega L}{1-\omega ^2 L C}} = \frac{\frac{\jmath \omega L}{1-\omega ^2 L C} (1-\omega^2 L C)}{R - \omega^2 RLC +\jmath \omega L} = \frac{\jmath \omega \frac{L}{R}}{1-\omega ^2LC + \jmath \omega \frac{L}{R}}$

posto che la relazione tra pulsazione e frequenza è la ben nota
$\omega = 2 \pi f$
e che la pulsazione di risonanza $\omega_0$ è pari a
$\omega_0 = 2 \pi f_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}$
dovresti tornare alla funzione di trasferimento iniziale.

Ti ho mostrato un metodo possibile, spero abbia capito come funziona :ok:

da **alexlovesusa** » 6 ago 2012, 20:54

Grazie mille. Adesso ho capito da dove derivano le formule ottenute, ma non ho capito il funzionamento del circuito, ovvero il perché avviene una selezione della banda nel primo caso e un'eliminazione di una banda di frequenze nel secondo caso. Mi piacerebbe avere una spiegazione in termini di correnti e tensioni nel circuito :ok:

da **IsidoroKZ** » 6 ago 2012, 21:06

Calcola l'impedenza del gruppo LC parallelo alla frequenza di risonanza.

da **rusty** » 6 ago 2012, 22:37

Scusa ma a lezione non hanno spiegato nulla di quello che hai scritto? Grandi formule, qualche disegno e due parole al volo?
Che nozioni hai di fisica, matematica, ed elettrotecnica?
Tensioni e correnti sono gia' state trattate, solo in un dominio non temporale :ok:

Inizia a calcolare cio' che suggerisce

IsidoroKZ,magari ti si accende una piccola lampandina ;-)

da **Lele_u_biddrazzu** » 7 ago 2012, 0:11

alexlovesusa ha scritto:...ma non ho capito il funzionamento del circuito...

Come ti è già stato detto, devi focalizzare l'attenzione sul parallelo LC; questo presenta un'ammettenza Y che varia in funzione della pulsazione $\omega$ secondo il seguente andamento qualitativo...

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... ovvero:

- per valori bassi di $\omega$ , l'ammettenza assume valori elevati (idealmente un cortocircuito);

- alla pulsazione di risonanza $\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ , il parallelo LC è assimilabile ad un circuito aperto;

- per elevati valori di $\omega$ , anche l'ammettenza assume valori elevati (idealmente un cortocircuito).

A questo punto, non dovrebbe essere difficile comprendere, seppure qualitativamente, il funzionamento del filtro passa banda e di quello elimina banda. Volendo prendere in considerazione il secondo, si ha...

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

... ovvero:

- per $\omega\ll\omega_{0}\rightarrow\Big|H\left(\omega\right)\Big|\approx1$ ;

- per $\omega=\omega_{0}\rightarrow\Big|H\left(\omega\right)\Big| = 0$ ;

- per $\omega\gg\omega_{0}\rightarrow\Big|H\left(\omega\right)\Big|\approx 1$ .

In definitiva l'andamento del modulo della funzione di rete del filtro elimina banda risulta...

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Mi auguro di esserti stato di aiuto O_/

da **alexlovesusa** » 7 ago 2012, 12:49

Grazie mille a tutti. Ho capito tutto perfettamente con l'ultima spiegazione di Lele :ok:

@Isidoro: Calcolando l'impedenza parallelo tra L e C alla freq. di risonanza, ovvero sostituendo $\omega_0$ nella Z_p

al posto della $\omega$ ottengo $Z_p=j*\frac{1}{\sqrt{LC}}$ . Cosa dovrei capire da questa formula? Scusate, ma non ci arrivo :cry:

@rusty: Il corso non è un corso di elettrotecnica. Quello l'ho seguito e terminato quasi due anni fa. La materia è teoria dei segnali e questo è semplicemente un esempio che viene usato per chiarire un criterio detto di Paley-Wiener. Vengono date le formule e vegono riportatii circuiti, ma non viene spiegato un bel niente e nemmeno a lezione il professore ha spiegato un bel niente a riguardo. Sto cercando solo di chiarirmi le idee e non lasciare niente incompleto ;-)

Inoltre, il corso si elettrotecnica che ho seguito tempo fa non è stato niente di che e ricordo che ho dovuto studiare e capire tutto da solo. Infine, i filtri non li abbiamo mai visti prima di ora. Io avevo solo sentito parlare dei filtri e immaginavo a cosa potessero servire, ma non li abbiamo mai trattati ne nel corso di elettrotecnica, ne in quello di elettronica :cry:

P.S. Non so se conoscete il criterio di Paley-Wiener che riguarda i sistemi lineari e stazionari la cui risposta in ampiezza è a quadrato integrabile:
$\int_{-oo}^{+oo}} |H(f)|^2 df < oo$
e quindi vale per i filtri passa basso e passa banda ideali. Si dice che il sistema lineare e stazionario è causale se è verificata la condizione necessaria $\int_{-oo}^ {+oo}} \frac{|ln(|H(f)|)|}{1+(2\pi f)^2} df < oo$ e la risposta in frequenza $H(f)=|H(f)|*e^{j*\Theta(f)}$ è quella di un sistema causale.
Purtroppo questa condizione è necessaria ma non sufficiente perché non viene detto come deve essere la funzione $\Theta(f)$ che porti a un sistema causale.
La funzione integranda del secondo integrale è non convergente per le risposte in ampiezza nulle su intervalli di frequenza di ampiezza non nulla. Questo implica che il secondo integrale vale solo per una risposta in frequenza che si annulla solo per un insieme di punti della frequenza e quindi intervalli di frequenza di misura nulla.
A questo punto, perché la seconda funzione integranda non è limitata su intervalli di misura non nulla? Io penso che il motivo sia il seguente:
- se il modulo della risposta in frequenza è nullo in intervalli di ampiezza non nulla, allora possiamo spezzare l'integrale in più parti e abbiamo che, negli intervalli in cui la risposta in ampiezza è nulla, abbiamo al numeratore il |ln(0)|

che naturalmente tende a più infinito e quindi l'integrale non è limitato in questi intervalli. Negli intervalli in cui la risposta in ampiezza è non nulla, allora abbiamo un valore non infinito, ma nella somma finale otterremmo comunque un valore infinito. Giusto?
- se invece la risposta in ampiezza è nulla soltanto in corrispondenza di determinati valori ( anche un'infinità numerabile) della frequenza, l'integrale improprio possiamo spezzarlo ancora e considerare i limiti per f che tende rispettivamente ai vari punti in cui la funzione si annulla e, avendo al numeratore una funzione di logaritmo, il risultato ottenuto facendo il limite sarà un valore non infinito.
E' giusto come lo vedo io? Non avevo capito inizialmente il perché l'integrale converga per risposte in ampiezza che si annullano in determinati punti della frequenza. Spero che sia questo il motivo... in caso contrario gradirei una vostra spiegazione ;-)

da **Lele_u_biddrazzu** » 7 ago 2012, 13:12

alexlovesusa ha scritto:...questo è semplicemente un esempio che viene usato per chiarire un criterio detto di Paley-Wiener...

Curiosità... per caso stai studiando dal Luise - Vitetta :?:

da **RenzoDF** » 7 ago 2012, 15:24

rusty ha scritto:... Ti ho mostrato un metodo possibile ...

Te ne faccio vedere un altro, quello "egizio"; partendo da una falsa $V_{O}$ , risalgo verso $V_{I}$ e calcolo il rapporto fra le due tensioni

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

$\begin{align} & V_{O}=j\omega L\quad \Rightarrow I_{L}=\frac{V_{O}}{j\omega L}=1\quad \Rightarrow I_{C}=V_{O}j\omega C=-LC\omega ^{2} \\ & \quad \Rightarrow I_{R}=I_{L}+I_{C}=1-LC\omega ^{2}\quad \Rightarrow V_{I}=RI_{R}+V_{O}=R(1-LC\omega ^{2})+j\omega L \\ \end{align}$

$\frac{V_{O}}{V_{I}}=\frac{j\omega L}{R-\omega ^{2}RLC+j\omega L}$

Poi magari ti mostro come fare con il 2EET (Extra Element Theorem) di Middlebrook ;-)

da **alexlovesusa** » 7 ago 2012, 15:24

@lele:Esattamente :ok:

( Ho letto che sei di Palermo, quindi essendo io studente di ingegneria informatica all'università di Agrigento ( quindi Palermo) , ho pensato che potremmo aver usato lo stesso libro :-)

) Comunque il libro non è che sia granchè. Nella mia carriera universitaria non ho mai avuto un libro decente :!:

@RenzoDF: che significa " partendo da una falsa Vo"? Come viene scelta?

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Filtro LC passa banda ed elimina banda

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