Dubbi riguardo ai PID

[cencia]

Salve,
ho preso in mano da poco i controllori automatici, in particolare mi sto addentrando nelle problematiche PID.
Dopo aver capito che il sistema retroazionato ha una certa banda passante, che credo dipenda dal PID, dal sistema monitorato e dalla retroazione, non riesco ad associare il teorema del campionamento alla banda passante scelta per il PID stesso.
cioè
|R(jw) · G(jw)| = 1
fase (R(jw)) + fase (G(jw)) = −180 + fase(m)

sono le equazioni da risolvere, con R(jw) il PID e G(jw) il sistema da controllare. Per risolvere le due equazioni in 2 incognite occorre scegliere la fase intorno ai 90° per questioni di stabilitè e la pulsazione wt del sistema.

La mia domanda è: che relazione c'è tra quella wt scelta e il la massima frequenza di campionamento che posso scegliere, nel caso stessi lavorando con Regolatori Digitali.

Spero di essere stato chiaro.

Matteo

[g.schgor]

Suggerirei che la frequenza di campionamento
debba essere almeno 10 volte quella relativa ad wt.

[cencia]

Suggerirei che la frequenza di campionamento
debba essere almeno 10 volte quella relativa ad wt.

ecco è proprio quello che non capisco... tradotto in termine hardware la relazione tra velocità di campionamento del convertitore A/D e banda passante del sistema.

[dimaios]

Il problema non riguarda il PID ma in generale la discretizzazione di qualsiasi controllore.

Passando dal dominio continuo a quello discreto bisogna stare attenti alle seguenti cose :

1. Deve essere scelto un periodo di campionamento che soddisfi il Teorema di Shannon. Da un punto di vista teorico basterebbe scegliere la frequenza di campionamento pari ad almeno il doppio della frequenza di taglio della banda del sistema controllato. In realta' questo non e' sufficiente in quanto i filtri antialiasing non sono netti in frequenza ( non sono rappresentabili come dei rect ideali) per cui si distanzia in frequenza la ripetizione periodica dello spettro continuo scegliendo una frequenza di campionamento dalle 10 alle 50 volte maggiore rispetto alla banda del sistema controllato ( ti ricordo che lo spettro discreto e' la ripetizione periodica dello spettro continuo. La "densita' " con la quale replichi lo spettro continuo dipende dalla frequenza di campionamento scelta ).

2. La frequenza di campionamento non deve eccedere certi limiti per problemi di costo dei componenti.

3. La distorsione in frequenza dovuta alla discretizzazione deve essere accettabile. Bisogna di fatto evitare che, se la sintesi viene effettuata nel dominio continuo, le performance si degradano a causa della discretizzazione non soddisfando piu' le specifiche di progetto. Una volta sintetizzato il controllore digitale e' doveroso calcolare la trasformata di Fourier sovrapponendola a quella del controllore analogico di partenza. Inoltre e' indispensabile considerare il luogo delle radici discreto per verificare i margini di stabilita' dopo l'avvenuta discretizzazione.


4. Se si realizza il PID in forma digitale, se i poli sono troppo vicini al cerchio unitario si rischiano fenomeni di instabilita' innescati dagli errori di calcolo soprattutto se si lavora su sistemi fixed-point. Meglio quindi tenersi lontani dal cerchio unitario ed aumentare la frequenza di campionamento per cautelarsi da problemi di questo tipo.
In alcuni casi anche il floating-point pone lo stesso problema come dimostrato dall'esempio seguente.

Es.
Supponiamo di dover discretizzare un semplice derivatore.
Nel dominio continuo si ha :



Nel dominio discreto discretizzando con la tecnica di Tustin si ha :




Siccome il denominatore ha un polo sul cerchio unitario la discretizzazione e' a rischio oscillazione se non instabilita'. Facendo alcune simulazioni con Matlab ti accorgi che a volte l'oscillazione si innesca e a volte no rendendo la discretizzazione non plausibile.


Per ottenere risultati migliori e' consigliabile discretizzare il sistema di partenza e sintetizzare il controllore direttamente nel dominio discreto.
Purtroppo la pratica di progettazione usuale ( per vari motivi che esulano dalla presente discussione ) segue esattamente il percorso contrario ovvero si sintetizza il controllo nel dominio continuo e poi lo si discretizza.

[cencia]

Ho visto dei Tools (es. mathworks) che hanno delle Interfacce di Tuning dei coefficienti ottimale, elimina tutti i processi di sintesi euristica con i metodi tradizionali. sono cose veramente fotoniche...
Ma ritornando alla tua risposta, sei stato molto esauriente:
avrei lo stesso alcuni dubbi da esternare:

- in che modo la banda passante del PID influenza la banda passante dell'intero sistema?
- ho capito bene che la banda passante del controllore discreto deve essere
circa 10 volte inferiore a quella continua? questo è dovuto alla frequenza di
campionamento?
-qual'è l'effetto di aumentare il periodo di campionamento sulla Banda del sistema e sulla banda del PID?

[g.schgor]

La risposta alla prima domanda dovrebbe essere
in questo articolo (anche se limitato al PI).
Per le altre domande, rimando invece a questo.

[cencia]

Grazie delle dritte.
riguardo al primo suggerimento (mi trovo meglio parlare di PI):
se ho capito bene la banda d'anello chiuso è sempre maggiore della banda del sistema da controllare al di là della banda ωg del PI scelta. giusto?
dal punto di vista delle forme d'onda ωg (piccola o grande) su cosa va a incidere principalmente?
grazie mille per i preziosi aiuti in questa materia che non è delle più semplici

[g.schgor]

la banda d'anello chiuso è sempre maggiore della banda del sistema da controllare

No, dipende da come è tarato il regolatore.

ωg (piccola o grande) su cosa va a incidere

Per intendi la pulsazione di taglio?
Questa agisce sul tempo di risposta dell'anello chiuso.
(gli esempi citati dovrebbero dimostrarlo)

[cencia]

Grazie mille dei preziosi suggerimenti.
se ho qualche altro dubbio, posso continuare in questo post?

[g.schgor]

Sì, se l'argomento è lo stesso, altrimenti è meglio
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