Re: Bartlett & Barkhausen

[mir]

..mmh, mi sembra piu' una domanda da forum di scienze matematiche ........

[RenzoDF]

mir, non fare tanto il difficile ... per uno come te, che è riuscito a installare "felicemente" Ubuntu, questo sarà un gioco da ragazzi

[EdmondDantes]

Dovrebbero essere x=1476 e y=41

[RenzoDF]

Bravo ... ma io voglio tutte le coppie

[EdmondDantes]

Già! Vero...mi sono concentrato sulla soluzione che non ho fatto caso a quel plurale...

[mir]

mir, non fare tanto il difficile ... per uno come te, che è riuscito a installare "felicemente" Ubuntu, questo sarà un gioco da ragazzi

dai, Renzo, sai benissimo che Ubuntu si installa/configura da solo con una semplicità unica, per questo ci sono riuscito...
PS, di la verità, te l'ha suggerita la spalla admin,eh...

[EdmondDantes]

Si possono escludere tutte le coppie x,y il cui prodotto xy non sia un quadrato perfetto...tanto per iniziare.

[EdmondDantes]

Poco fa ho ripreso il problema.
Ho trovato le seguenti coppie:
x=41 e y= 1476;
x= 164 e y=1025;
x=369 e y=656;

Se poi vogliamo includere anche lo zero abbiamo:
x=0 e y=2009;

Spero di aver risolto il problema

[RenzoDF]

Poco fa ho ripreso il problema.
Spero di aver risolto il problema

Bravissimo, ma non devi cercarle casualmente (o forse ... sequenzialmente ), dovresti trovare (e spiegare) un metodo per metterle in fila tutte !

Come ?

[didimo]

Spero che possa andar bene.



イズミの数学
■数学好きのイズミが始めた、高校数学、大学数学を紹介するサイト。
TOP＞大学入試数学演習＞不定方程式の応用 ［2009 横浜国大・工（後）］
不定方程式の応用
問題
　次の問いに答えよ。
(1)　x2 - y2 = 2009 をみたす正の整数 x , y の組をすべて求めよ。
(2)　x2 + y2 = 41 をみたす正の整数 x , y の組をすべて求めよ。
(3)　式 ( ac - bd )2 + ( ad + bc )2 を因数分解せよ。
(4)　n を正の整数とする。 x2 + y2 = 2009n をみたす正の整数 x , y が存在することを示せ。
イズミの解答への道
　不定方程式の総合問題。(1)は因数分解型、(2)は範囲を絞る。(3)の恒等式を使って(4)に挑みます。(4)はかならず正の整数となるようにうまく調整したり、一般性を失わない範囲で大小関係を勝手に決めたりと、やや高度です。
　なお、 2009 = 72 × 41 です。一通り不定方程式の解法を身につけたらチャレンジし
解答
(1)　左辺を因数分解すると、
　　　( x + y ) ( x - y ) = 72 × 41
である。いま、 x + y > x - y だから、
x + y 72 × 41 7 × 41 72
x - y 1 7 41
の3通り。それぞれ x , y についての連立方程式として解いて、
　　　( x , y ) = ( 1004 , 1003 ) , ( 147 , 140 ) , ( 45 , 4 )

(2)
　　　x2 = 41 - y2 > 0　……(a)
であるから、 y は6以下の整数。同様に x も6以下の整数。
(a)式に y = 1 , 2 , 3 , 6 を代入すると、 x は正の整数にならないので解とはならない。
y = 4 のとき、 x = 5 , y = 5 のとき x = 4 は式を満たす。よって求める答えは、
　　　( x , y ) = ( 4 , 5 ) , ( 5 , 4 )

(3)
　　　( ac - bd )2 + ( ad + bc )2
　　　= a2c2 - 2abcd + b2d2 + a2d2 + 2abcd + b2c2
　　　= a2 ( c2 + d2 ) + b2 ( c2 + d2 )
　　　=( a2 + b2 ) ( c2 + d2 )

(4)　すべての n に対して、「x2 + y2 = 2009n をみたす正の整数 x , y が存在する……（※）」ことを、数学的帰納法によって証明する。
(i)　n = 1 のとき
　(2)の結果である
　　　52 + 42 = 41　　……(a)
の両辺に 72 をかけて、
　　　352 + 282 = 2009　　……(b)
より（※）は成立。
(ii)　n = k のとき（※）の成立を仮定すると、
　　　X2 + Y2 = 2009k　　……(c)
を満たす正の整数 X , Y が存在する。
　n = k + 1 のとき
　　　2009k+1 = 2009 × 2009k
ここで、(a)、(b)を代入して、
　　　　　　　　　= ( 352 + 282 ) × ( X2 + Y2 )
さらに(3)で得た恒等式より、 a = 35 , b = 28 , c = X , d = Y とみれば、
　　　　　　　　　= ( 35X - 28Y )2 + ( 35Y + 28X )2　　……(d)
となる。ここで、(c)において、 X > Y としても一般性を失わない。このとき、(d)式の第1項、第2項はどちらも正の整数である。
　以上、(i)、(ii)より、すべての n に対して（※）は満たされることが示された。
研究
■類題

ho indovinato?

saluti

didimo