Domanda:

Gentile Ingegnere,
relativamente ai generatori sincroni trifasi, volevo chiederle perchè la forza magnetomotrice di indotto quinta armonica, per prenderne una in esame, “viaggia” con un numero di giri che è un quinto di quello della fondamentale, e si muove in direzione opposta alla fondamentale delle fmm di indotto, e soprattutto come si fa a capirlo dalla formula che ho sotto riportato?
 m^V=1.5 * Ki^V * (Mi/5) * cos[wt - g + (( 5 * p/t) * x )]
con:
m^V: forza magneto motrice di quinta armonica
Ki^V: coefficiente di avvolgimento relativo alle quinte armoniche
Mi/5: valore massimo della forza magneto motrice di quinta armonica, con Mi=(2Ö2/p) * nqI , dove n è il numero di conduttori per cava, q è il numero di cave per polo e per fase, I è il valore efficace della corrente di indotto
g: angolo di cui le correnti di indotto sono sfasate dalle rispettive tensioni
Mentre la fondamentale delle fmm di indotto è:
m^I=1.5 * Ki^I * (Mi) * cos[wt - g- ((p/t) * x )]

Risponde admin

Il problema che ti poni è generalmente considerato banale conoscendo l'equazione delle onde. E la risposta è effettivamente dentro le espressioni che hai riportato. Ogni testo di macchine elettriche le riporta e lascia allo studente la "semplice dimostrazione" delle affermazioni che tu fatichi a riconoscere vere, quali: "la fmm di quinta armonica ha 5*2p semionde ed una velocità che in valore assoluto è un quinto della fondamentale ed è opposta a questa".
Sembra un vezzo di chi sta spiegando, od anche un modo di evitare di impantanarsi in spiegazioni di passaggi matematici, ma lo studente che si imbatte in queste "semplicità" è portato ad attribuire un certo sadismo all'autore. D'altra parte la dimostrazione di una cosa semplice, ne smentirebbe, in un certo senso, la semplicità. C'è da osservare che non si può in ogni occasione dimostrare tutto e, all'occorrenza, occorre far riferimento alla trattazione specifica dell'argomento da cui si deriva la "semplicità" della dimostrazione.
Sia come sia, colgo l'occasione della tua domanda per ricordare le nozioni che riguardano l'equazione di un'onda, applicandole al caso specifico della del campo magnetico rotante prodotto dalle correnti di indotto nelle macchine sincrone, sperando di colmare la piccola lacuna che senti.

L’equazione y(x,t)=f(x-v^.t) è l’ equazione di un’onda piana che si sposta nella direzione positiva dell’asse x con velocità v. Basta infatti porre x’=x-v^.t, il che significa porre l’origine di x’ nel punto dell’asse x posto alla distanza da questo della quantità v^.t ed osservare che la funzione nella variabile x’, f(x’) è identica alla f(x) ottenuta per t=0. La f(x) si è dunque, nel tempo t, spostata in avanti di v^.t
L’equazione y(x,t)=f(x+v’^.t) è l’ equazione di un’onda piana che si sposta nella direzione negativa dell’asse x con velocità v’, cioè v’=-v.
Se si ha y(x,t)=f(a^.x-b^.t) si può porre, X=a.x, quidi y(X,t)=f(X-b^.t), da cui si vede che la velocità di spostamento lungo l'asse tarato secondo la X è b, cioè è b=DX/Dt. Poiché DX=a_.Dx la velocità lungo l'asse tarato con x è v=Dx/Dt=(DX/a)/Dt=b/a. Se y(x,t)=f(a^.x+b^.t) la velocità di spostamento lungo x è v =-b/a. In altre parole per trovare la velocità con cui si sposta l'onda secondo l'asse x si divide il coefficiente del tempo per il coefficiente dell'ascissa x. Inoltre se i due coefficienti hanno segno opposto l'onda si muove secondo il verso positivo dell'ascissa, secondo il verso negativo se hanno lo stesso segno.
La risultante delle forze magnetomotrici di un avvolgimento trifase percorso da correnti di valore efficace I è un’onda periodica scomponibile in un’onda sinusoidale fondamentale, una di quinta armonica, di settima ecc. di ampiezza inversamente proporzionale al numero di armonica. Le armoniche di ordine tre e multiple di tre hanno ampiezza nulla.
Per la f.m.m. fondamentale si ha (poniamo per semplicità g =0, lo sfasamento tra la tensione e la corrente)
m_i(x,t)=1,5^.K_i^.M^.cos(w^.t-x^.(p/t))= 1,5^.K_i^.M^.cos(w^.t-x^.(2p/D)) essendo t=pD/2p avendo indicato con p il numero di coppie polari della macchina e D il diametro al tra ferro ed M=K^.I con K=0,9^.n_i^.q (n_i: conduttori per cava, q: cave per polo e per fase)
Il coseno è una funzione pari per cui si può cambiare il segno dell’argomento: m_i(x,t)=1,5^.K_i^.M^.cos(x^.(p/t)-w^.t)= 1,5^.K_i^.M^.cos(w^.t-x^.(2p/D)).
Consideriamo un istante qualsiasi, per comodità t=0, quando x=pD si ha
m_i(x,0)= 1,5^.K_i^.M^.cos(p2p): l’argomento della funzione ci dice che la sinusoide ha descritto 2p semionde; un’istantanea qualsiasi ci mostra lungo la circonferenza 2p semionde di sinusoide.
Questo insieme di semionde ruota con una velocità di spostamento periferica, cioè secondo l’ascissa x, corrente lungo la circonferenza di traferro, pari a
v=w^.t/p=2ft =w^.D/2p dove w=2pfè la pulsazione della corrente, costante.
Per la quinta armonica si ha
m_i^v(x,t)= 1,5^.K_i^v.M/5^.cos(x^.(5^.p/t)+w^.t )=0,3^.K_i^v.M^.cos(w^.t+x^.5^.(2p/D)).
Considerando ancora l’istante t=0, quando x=pD si ha
m_i^v(x,0)= 0,3^.K_i^v.M^.cos(p^.5^.2p) ): l’argomento della funzione ci dice che la sinusoide ha descritto 2p*5 semionde. Un’istantanea ci mostra cioè lungo la circonferenza di tra ferro il susseguirsi di 10p semionde, cinque volte di più di quelle della fondamentale.
La velocità periferica di spostamento è però:
v^v=-w^.t/5p=-2ft/5=-v/5
cioè un quinto della fondamentale ed ha verso opposto
Sperando di non averti confuso le idee...