Premesse

Prima di addentrarci nell'analisi dettagliata dei filtri attivi, giova tentare di dare una definizione al termine filtro.

Un filtro è un doppio bipolo che, una volta inserito fra generatore ed utilizzatore, fornisce a quest'ultimo la massima potenza quando la frequenza del segnale applicato all'entrata è compresa fra uno o più intervalli di frequenze, ciascuno dei quali prende il nome di banda passante, mentre impedisce la trasmissione del segnale nel campo, o nei campi, di frequenze complementari ai precedenti, ciascuno dei quali prende il nome di banda attenuata.

In relazione al comportamento in frequenza presentato dei filtri stessi, è possibile effettuare una prima distinzione: i tipi più diffusi sono i seguenti:

·      filtro passa basso [ low pass - LP ]

·      filtro passa banda [ band pass - BP ]

·      filtro passa alto  [ high pass - HP ]

·      filtro a reiezione di banda [ band rejection - BR ]

·      filtro passa tutto [ all pass - AP ].

Il filtro Passa Basso presenta la banda passante per frequenze da 0 a f₀, mentre la banda attenuata va da f₀ all'infinito.

Il filtro Passa Banda ha la banda attenuata da 0 a f₁, passante da f₁ a f₂ ed ancora attenuata da f₂ all'infinito.

Il filtro Passa Alto palesa la banda attenuata da 0 a f₀ e passante da f₀ all'infinito.

Il filtro a Reiezione di Banda o "filtro elimina banda" è il complementare del filtro passa banda, pertanto presenterà la banda passante da 0 a f₁, attenuata da f₁ a f₂, ed ancora passante da f₂ all'infinito.

Il filtro Passa Tutto ha la proprietà di non variare il modulo della sua funzione di trasferimento al variare della frequenza, ma presenta una rotazione di fase di 360° attorno ad una data frequenza.

Senza addentrarci minimamente nella complessa teoria che sta alla base della sintesi dei filtri passivi, ci basti pensare che, normalmente, un filtro passivo presenta un numero di induttori circa pari al numero di condensatori che lo compongono. Gli induttori sono i componenti che danno la maggior quantità di problemi sia nella loro costruzione che nel loro utilizzo, infatti sono generalmente ingombranti, costosi, scarsamente integrabili e presentano una buona dose di parametri parassiti che allontanano il funzionamento pratico da quanto ci si attenda dal calcolo teorico del filtro. Si è quindi cercato di orientarsi su celle che utilizzino solo resistori e condensatori, tentando di ovviare all'assenza di induttori con l'uso di componenti attivi, prevalentemente amplificatori operazionali. Simili circuiti vengono generalmente definiti Circuiti RC Attivi.

In questo capitolo affronteremo inizialmente il problema della simulazione di induttori, per poi addentrarci nello studio di diverse soluzioni circuitali per la realizzazione dei vari tipi di filtro.

Per il circuito in figura, vogliamo calcolare i parametri di catena A,B,C,D: tali parametri sono i coefficienti delle incogni­te del sistema:

Per valutare AºV₁/V₂ con I₂=0 basta osservare che, nell'ipotesi di operazionali ideali, non essendoci caduta di tensione fra i morsetti invertente e non invertente, l'ingresso è equipotenziale all'uscita, pertanto V₁=V₂ e quindi A=1. Per il calcolo relati­vo a BºV₁/I₂ con V₂=0, per lo stesso motivo precedente, anche V₁ sarà nullo, e pertanto B=0. Per quanto concernente CºI₁/V₂ con I₂=0, ovvero con l'uscita a vuoto, basta notare che, essendo l'operazionale ideale ed essendo nulla la corrente I₂, sarà nulla anche la corrente che circola in Y₅. Ciò vuol dire che sarà nulla la caduta di tensione ai capi di Y₅ e non essendoci differenza di potenziale fra i morsetti invertente e non invertente dell'operazionale, non ci sarà caduta di tensione nemmeno su Y₄, il che si traduce nell'asserzione che anche la corrente che circola in Y₄ dovrà essere nulla. Non entrando corrente negli operazionali ed essendo nulla la corrente in Y₄, dovrà essere nulla anche la corrente che circola in Y₃ e quindi, su di essa, non ci sarà caduta di tensione. Tenendo presente che  essendoci un potenziale nullo fra i due morsetti dell'operazionale, sarà nulla la caduta su Y₂ e quindi sarà nulla anche la corrente che vi circola. Non entrando corrente nel morsetto non invertente dell'operazionale, se ne deduce che anche I₁ sarà nulla, e quindi C=0.

Calcoliamo ora DºI₁/I₂ valutato con V₂=0, ovvero con l'uscita chiusa in corto circuito, così come da figura. Essendo l'uscita chiusa in corto circuito, la tensione ai nodi 1, 2 e 4 sarà nulla, in quanto V₂ è nulla a causa del corto circuito, V₄ è nulla in quanto ai morsetti di ingresso di un operazionale non cade tensione, e V₁ è pari a 0 V per lo stesso motivo. A questo punto non resta che risolvere le equazioni ai nodi 3 e 5, ricordando, come sempre, che essendo gli operazionali ideali, non entra corrente nei loro morsetti di ingresso.

[equazioni rispettivamente ai nodi 3 e 5]

Inoltre

Risolvendo il sistema, otteniamo

  e

 da cui, sostituendo,

e quindi

.

Quindi il sistema risulta essere:

Se ora carichiamo l'uscita con un'impedenza Z_L, osservando che vale la relazione

 ovvero

calcoliamoci l'impedenza di ingresso Z_ing che si vede guardando fra il morsetto 1 e la massa; essa sarà pari a

, cioè:

Semplificando V₂ e facendo il m.c.m. potremo scrivere che:

Sostituendo i nostri parametri di catena, potremo scrivere che nel caso in analisi, l'impedenza di ingresso Z_ing vale:

Resta evidente, a questo punto, che se al posto di Y₃ mettessimo un condensatore di capacità C₃ e al posto delle restanti ammettenze Y_i mettessimo altrettante resistenze di valore R_i, la Z_ing diventerebbe:

che ha le dimensioni, come si può ben notare, di un'impedenza con un capo a massa. Lo stesso ragionamento vale se sostituissimo Y₅ con una capacità di valore C₅ e, come prima, tutte le altre ammettenze con delle resistenze. In questo caso otterremmo:

I circuiti relativi sono riportati in figura.

Con questo tipo di circuito, siamo quindi in grado di simulare induttanze ideali con un capo a massa. É facile dimostrare, e lo lasciamo all'attento lettore, che per realizzare induttanze fluttuanti, cioè sospese, ovvero senza capi a massa, sarà necessaria la connessione di due induttanze ideali come indicato nella figura che segue.

É possibile, con giuste sostituzioni, realizzare, a questo punto, circuiti che abbiano impedenza di ingresso proporzionale a p². Ricordando che p º jw e che quindi p² = -w², potremo avere dispositivi con impedenza puramente reale e proporzionale a -w². Se l'impedenza è puramente reale, allora presenterà un comportamento resistivo negativo. Questi circuiti sono stati, da Bruton, denominati "FDNR", acronimo di Frequency Dependent Negative Resistance, ovvero di resistenze negative dipendenti dalla frequenza. Si ottengono così FDNR detti di tipo D o di tipo E a seconda che siano proporzionali rispettivamente a 1/p² o a p². Nel primo caso otterremo dei "Supercondensatori", mentre nel secondo caso avremo dei "Superinduttori". É banale, sostituendo nell'equazione già calcolata

 al posto delle ammettenze indicizzate le reali ammettenze dei componenti circuitali, dimostrare che, nei supercondensatori, Y(p) sarà proporzionale a p² e, nei super induttori, sarà Z(p) ad essere proporzionale a p². La costante di proporzionalità sarà un numero sempre positivo che prende il nome di "D" nel caso dei supercondensatori e di "E" nell'altro caso. D ha le dimensioni di Farad per Secondo, mentre E si misura in Henry per Secondo, come per altro, è facile dimostrare.

I circuiti che si ottengono sono rappresentati nelle figure seguenti:

Entriamo ora nell'analisi più dettagliata dei filtri attivi. In questo capitolo, ci soffermeremo soprattutto sui filtri del secondo ordine, ovvero su filtri che hanno a denominatore un polinomio di secondo grado nella forma:

,

in cui  è il modulo dei poli complessi, mentre è il fattore di qualità del filtro, pari all'inverso del fattore di smorzamento d Vale la pena di puntualizzare brevemente il significato fisico di w e di q. Risolvendo l'equazione sopra riportata, risulterà evidente la comparsa di una coppia di poli, non necessariamente puramente reali, ma complessi coniugati. La distribuzione dei poli sul piano gaussiano sarà quindi, genericamente, quella riportata in figura:

Sia quindi e  con s₁ reale e w₁ reale e positivo. A questo punto, q_p e w_p sono così definiti:

 e

da cui è facile dedurre che

É evidente osservare che w_p è il modulo dei poli complessi, mentre q_p risulta essere pari a

.

Si può, così, notare come il q cresca da 0.5, quando le radici sono reali, fino a tendere a ¥ se le radici sono puramente immaginarie.

Il polinomio di secondo grado che genera una simile coppia di poli sarà:

ed il generico polinomio non monico di secondo grado

avrà

 ed

Volendo chiamare s₁ e s₂ le radici reali negative del trinomio monico, lo stesso acquisterà la forma di

.

In questo caso

ed